WikiEdge:ArXiv-2011.06398

• 标题：Spherical coverings and X-raying convex bodies of constant width
• 中文标题：球形覆盖和常宽凸体的X射线
• 发布日期：2020-11-12 14:11:57+00:00
• 作者：A. Bondarenko, A. Prymak, D. Radchenko
• 分类：math.MG, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2011.06398v3

摘要：K. Bezdek 和 Gy. Kiss 展示了，存在以原点为中心的单位球在 $\mathbb{E}^n$ 中至多由 $2^n$ 个相同的球帽覆盖，其半径不超过 $\arccos\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$，这暗示了对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的常宽凸体的 $X$-射线猜想和照明猜想，并且为 $4\le n\le 6$ 构造了这样的覆盖。在这里，我们给出了对于 $5\le n\le 15$ 的这样的构造，其球帽数量少于 $2^n$。 对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的任何常宽凸体的照明数，O.~Schramm 证明了一个上界估计，其指数增长的阶为 $(3/2)^{n/2}$。特别地，该估计对于 $n\ge 16$ 小于 $3\cdot 2^{n-2}$，确认了上述猜想对于常宽凸体类的适用性。因此，我们的结果解决了未决的 $7\le n\le 15$ 的情况。 我们还展示了如何在计算机上有效地计算给定离散点集在球面上的覆盖半径。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构造单位球面上的球冠覆盖，使得覆盖半径不超过 \(\arccos \left(\sqrt{\frac{n-1}{2n}}\right)\) 并且球冠数量不超过 \(2n\)？
• 对于 \(5 \leq n \leq 15\) 的维度，能否找到少于 \(2n\) 个球冠的覆盖？
• 如何计算给定离散点集在球面上的覆盖半径？
• 如何证明对于常宽凸体的X射线猜想和照明猜想？