WikiEdge:ArXiv-2011.06398

• 标题：Spherical coverings and X-raying convex bodies of constant width
• 中文标题：球形覆盖和常宽凸体的X射线
• 发布日期：2020-11-12 14:11:57+00:00
• 作者：A. Bondarenko, A. Prymak, D. Radchenko
• 分类：math.MG, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2011.06398v3

摘要：K. Bezdek 和 Gy. Kiss 展示了，存在以原点为中心的单位球在 $\mathbb{E}^n$ 中至多由 $2^n$ 个相同的球帽覆盖，其半径不超过 $\arccos\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$，这暗示了对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的常宽凸体的 $X$-射线猜想和照明猜想，并且为 $4\le n\le 6$ 构造了这样的覆盖。在这里，我们给出了对于 $5\le n\le 15$ 的这样的构造，其球帽数量少于 $2^n$。 对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的任何常宽凸体的照明数，O.~Schramm 证明了一个上界估计，其指数增长的阶为 $(3/2)^{n/2}$。特别地，该估计对于 $n\ge 16$ 小于 $3\cdot 2^{n-2}$，确认了上述猜想对于常宽凸体类的适用性。因此，我们的结果解决了未决的 $7\le n\le 15$ 的情况。 我们还展示了如何在计算机上有效地计算给定离散点集在球面上的覆盖半径。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构造单位球面上的球冠覆盖，使得覆盖半径不超过 \(\arccos \left(\sqrt{\frac{n-1}{2n}}\right)\) 并且球冠数量不超过 \(2n\)？
• 对于 \(5 \leq n \leq 15\) 的维度，能否找到少于 \(2n\) 个球冠的覆盖？
• 如何计算给定离散点集在球面上的覆盖半径？
• 如何证明对于常宽凸体的X射线猜想和照明猜想？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 球面覆盖问题与凸体的X射线问题：
   • 球面覆盖问题涉及将球面上的点集用最少数量的球冠覆盖，这种研究在编码理论、通信和计算机科学中有广泛应用。
   • X射线问题则关注于确定最少需要多少方向的射线能够穿过一个凸体，使其内部的每个点至少被一条射线穿过。
   • 这两个问题在凸体几何学中具有重要意义，并且与许多数学领域的问题相关，如凸体的照明问题。
2. 凸体的常宽性质：
   • 常宽凸体是一类特殊的凸体，其在任何方向上的投影长度都是常数。这类凸体在几何学、物理学和工程学中都有重要应用。
   • 常宽凸体的研究有助于理解更一般的凸体的性质，以及它们在不同领域中的应用。
3. 数学上的猜想与证明：
   • 文献中提到了X射线猜想和照明猜想，这些猜想是关于凸体的X射线数和照明数的上界估计。
   • 这些猜想的证明不仅对数学理论有重要意义，而且对实际应用，如计算机图形学和优化问题，也有潜在的影响。
4. 计算方法的应用：
   • 作者提到了使用计算方法来解决球面覆盖问题，这表明数学问题的解决越来越依赖于计算机辅助技术。
   • 计算方法的应用提高了解决复杂数学问题的效率，并允许研究者探索更高维度的问题。

综上所述，这篇文献的背景强调了球面覆盖问题和X射线问题在数学和应用科学中的重要性，以及常宽凸体在这些领域中的特殊角色。同时，它也展示了计算方法在现代数学研究中的关键作用。

章节摘要

这篇论文是关于球面覆盖和X射线凸体的常宽问题的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言：
   • 讨论了球面上的相同球冠的排列问题，这些球冠的中心形成了球面码，这些码在很多应用中都有用。
   • 提出了一个与凸几何中某些问题相关的覆盖问题，目标是构建具有特定覆盖半径和原点对称性的球面覆盖。
   • 引用了相关工作，包括Bezdek和Kiss的工作，他们展示了如何通过球面覆盖来证明X射线和照明猜想。

1. 球面覆盖的计算：
   • 定义了凸体的极体，并提供了计算给定点集的覆盖半径的高效方法。
   • 引入了凸多面体的极体的概念，并提供了计算极体顶点表示的方法。
   • 讨论了如果点集A具有某些对称性，如何通过限制计算到多面体的某个部分来简化计算。

1. 定理1的证明：
   • 构建了对于5到15维的球面覆盖，证明了对于这些维度，可以找到少于2n个球冠的覆盖。
   • 使用了E8格的最小范数向量来解决n=8的情况，并探索了坐标置换和原点对称的向量系统。
   • 提供了详细的构造方法和计算覆盖半径的结果，包括生成集的向量和覆盖半径的数值。

1. 参考文献：
   • 列出了与球面覆盖、凸体的常宽、X射线问题和照明问题相关的文献。
   • 引用了相关工作，包括Rogers、Bezdek和Kiss、Boroczky和Wintsche等人的研究。
   • 提供了对相关工作的简要概述，包括对猜想的证明和对猜想的进一步研究。

研究方法

这篇论文通过构造球面覆盖和研究凸体的X射线性质，探讨了凸体的常宽类。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 球面覆盖的构造：
   • 使用了最多2n个半径不超过arccos(n−1/2n)的全等球冠来覆盖单位球面。
   • 构造了5 ≤ n ≤ 15维的球面覆盖，且使用的球冠数量少于2n个。
   • 利用了E8格点的最小范数向量来解决n=8的情况，并探索了其他对称的向量系统。
2. 凸体的X射线和照明问题：
   • 研究了凸体在En中的X射线数X(K)和照明数I(K)，以及它们与球面覆盖半径的关系。
   • 证明了对于常宽凸体，X射线和照明猜想在7 ≤ n ≤ 15的维度中成立。
   • 使用了概率论方法来估计凸体的照明数，并得到了与X射线数相关的结果。
3. 计算方法：
   • 开发了一种基于凸多面体极体计算的球面覆盖半径的高效计算方法。
   • 使用了SageMath软件进行计算，并将代码提供在附录中。
   • 对于低维情况，使用精确的计算方法在有理数域或适当的二次域中计算覆盖半径。
4. 对称性和优化：
   • 利用了向量集合的对称性来简化计算，例如坐标置换和原点对称性。
   • 对于具有特定对称性的集合，通过限制计算到多面体的某一部分来优化计算过程。
   • 通过限制计算到多面体的某一部分，提高了计算效率。

这篇论文的方法论分析结果表明，对于常宽凸体，X射线和照明猜想在低维情况下得到了验证，并且开发了一种有效的球面覆盖半径计算方法。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 球面覆盖和X射线凸体的常宽类：作者证明了对于5到15维的凸体，存在一种球面覆盖方法，使得每个点最多被2n个球面覆盖，这支持了X射线猜想和照明猜想。
2. 球面覆盖的构造：对于5到15维，作者构造了具有更少于2n个球面的球面覆盖，具体结果如下：

 * 5维：30个球面，覆盖半径约为0.88608
 * 6维：44个球面，覆盖半径约为0.86912
 * 7维：112个球面，覆盖半径约为0.85707
 * 8维：240个球面，覆盖半径约为0.84806
 * 9维：470个球面，覆盖半径约为0.84107
 * 10维：692个球面，覆盖半径约为0.83548
 * 11维：2024个球面，覆盖半径约为0.83092
 * 12维：3832个球面，覆盖半径约为0.82711
 * 13维：7074个球面，覆盖半径约为0.82390
 * 14维：11132个球面，覆盖半径约为0.82114
 * 15维：16442个球面，覆盖半径约为0.81876

1. 计算覆盖半径的方法：论文还展示了如何高效地在计算机上计算给定离散点集在球面上的覆盖半径。
2. 凸体常宽类的X射线和照明猜想：作者的构造完全确认了对于常宽凸体类的X射线和照明猜想在任何维度下都成立。