WikiEdge:ArXiv-2109.06962

• 标题：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
• 中文标题：$\mathbb{R}^3$中常宽体的双单调流
• 发布日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分类：math.FA
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1

摘要：我们在三维欧几里得空间的等宽体空间中引入了一种流动，该流动随着时间的增加同时增加体积并减小形状的外接半径。从任何初始的等宽图形开始，我们证明了流动对所有正时间存在，并且随着时间趋向正无穷大，流动将收敛于一个闭球。我们还预期这种流动对于负时间的研究也很有趣，并且它将提供一种机制来减小等宽体的体积并增加其外接半径。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在三维欧几里得空间中定义一个同时增加体积和减小外接圆半径的常宽体流？
• 从任何初始常宽体开始，流是否存在于所有正时间，并且随着时间趋向正无穷，是否会收敛到闭球？
• 通过逆转时间，流的极限形状是否存在，并且是否能提供对最小体积常宽体和具有最大外接圆半径的常宽体之间关系的洞察？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的几何特性：
   • 常宽体是欧几里得空间中的一类特殊凸体，其在每个方向上的平行支撑平面之间的距离相等。这类几何体的宽度固定，例如半径为1/2的闭球是最简单也是最知名的常宽体。
   • 常宽体在二维平面上，如勒贝格和布拉施克独立证明的勒贝格-布拉施克定理所述，具有最小面积的常宽体是瑞利克斯三角形。
   • 在三维空间中，体积最小化的常宽体的存在性是布拉施克选择定理的一个结果，但关于这些形状的具体信息却鲜为人知。
2. 体积最小化与最大外接球半径的常宽体：
   • 作者探讨了是否存在一种联系，将体积最小化的常宽体与具有最大外接球半径的常宽体联系起来。
   • 例如，梅斯纳四面体是基于正四面体构造的，类似于瑞利克斯三角形基于等边三角形。
3. 常宽体的流形和演化：
   • 作者提出了一种在三维空间中常宽体的流形上的流，这种流在时间向前移动时，体积增加而外接球半径减小。
   • 这种流的存在性和行为，以及其对理解最小体积常宽体与最大外接球半径之间关系的潜在价值，是本文研究的重点。
4. 数学理论和方法的发展：
   • 论文中使用了一系列数学工具和理论，包括支撑函数、空间函数、测度、存在性定理等，来分析和证明提出的流的性质。
   • 这些方法不仅对解决具体的几何问题有重要意义，也对更广泛的数学和应用数学领域提供了新的视角和工具。

综上所述，这篇文献的背景强调了在三维空间中常宽体的几何特性、体积最小化问题、外接球半径的最大化，以及通过数学流的引入来探索这些特性之间可能存在的联系。

章节摘要

这篇论文是关于三维空间中恒宽体的双单调流的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言：
   • 讨论了恒宽体的定义，即在欧几里得空间中的一个紧凑凸子集，其中平行支撑平面在每个方向上相隔相同的距离。
   • 引入了宽度为1的恒宽体，并探讨了体积最小化的恒宽体。
   • 提出了一个关于体积最小化和具有最大外接半径的恒宽体之间可能存在的联系的问题。

1. 支撑函数：
   • 介绍了凸体的支撑函数的基本性质。
   • 推导出了恒宽体的外接半径和体积的表达式。
   • 讨论了支撑函数的梯度估计。

1. 函数和测度的空间：
   • 研究了在分析双非线性演化时需要的各种空间。
   • 讨论了空间C的凸性和紧性。
   • 引入了P⊥空间和C⊥空间，并讨论了它们的性质。

1. 存在性定理：
   • 提出了在R3中恒宽体空间的双单调流的概念，并证明了其存在性。
   • 展示了流的存在性，并证明了随着时间趋向于正无穷，流会收敛到半径为1/2的闭球。

1. 附录：
   • 提供了对P⊥元素平滑化、单调函数和下半连续函数的讨论。
   • 包含了对文中使用的一些数学工具和理论的额外解释和证明。