WikiEdge:ArXiv-2109.06962

• 标题：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
• 中文标题：$\mathbb{R}^3$中常宽体的双单调流
• 发布日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分类：math.FA
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1

摘要：我们在三维欧几里得空间的常宽体空间中引入了一种流动，随着时间的增加，它同时增加了体积并减小了形状的外接半径。从任何初始的常宽图形开始，我们证明了流动对所有正时间存在，并且随着时间趋于正无穷大，它收敛于一个闭球。我们也预期这种流动对于负时间的研究会很有趣，并且它将提供一种机制来减小常宽体的体积并增加其外接半径。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在三维欧几里得空间中定义一个流，使其同时增加体积并减少形状的外接圆半径？
• 从任何初始的等宽体开始，流是否对所有正时间存在，并且随着时间趋向无穷大会收敛到闭球？
• 流在负时间是否有趣，它是否能提供一种机制来减少等宽体的体积并增加其外接圆半径？
• 等宽体中体积最小与具有最大外接圆半径的体之间是否存在某种联系？
• 如何发展一种方法来探索等宽体的体积最小化问题？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的几何特性：
   • 常宽体是欧几里得空间中的一类凸集，其在每个方向上平行支撑平面之间的距离相同。这类几何体在数学和物理中具有重要的应用。
   • 常宽体的例子包括半径为1/2的闭球，它是所有常宽体中包围体积最大的形状。
   • 在平面上，Lebesgue和Blaschke证明了Reuleaux三角形具有最小的面积，这表明了对体积最小化的常宽体的研究具有悠久的历史。
2. 三维空间中常宽体的体积最小化问题：
   • 对于三维空间中的常宽体，虽然已知存在体积最小化的常宽体，但关于这些形状的具体信息却知之甚少。
   • Meissner和Schilling基于正四面体构造了一些常宽体，这些体被认为是体积最小化的候选者。
3. 常宽体的内外球半径关系：
   • 常宽体的一个显著特征是其内球和外球的半径之和为1，这为研究常宽体提供了新的视角。
   • 探讨具有最大外半径的常宽体与体积最小化常宽体之间是否存在联系，是本研究的一个动机。
4. 双单调流的引入：
   • 作者提出了一种在三维空间中常宽体的流，这种流在时间正向移动时，体积增加而外半径减小。
   • 这种流的存在性和行为对于理解常宽体的几何特性和解决上述问题具有重要意义。

章节摘要

这篇论文是关于三维空间中恒宽体的双向单调流的研究，主要内容包括：

1. 引言：
   • 定义了恒宽体为欧几里得空间中的紧凑凸子集，且在每个方向上平行支撑平面之间的距离相同。
   • 讨论了宽度为一的恒宽体，如半径为1/2的闭球。
   • 提出了一个关于体积最小化恒宽体的问题，以及它们与具有最大外接半径的恒宽体之间可能的联系。
   • 引入了支持函数的概念，并讨论了其与恒宽体的关系。

1. 支持函数：
   • 讨论了凸体的支持函数及其性质。
   • 推导出了外接半径和体积的公式。
   • 证明了恒宽体的内球和外接球是同心的，并且它们的半径之和为1。

1. 函数和测度的空间：
   • 研究了分析双向非线性演化所需的各种空间。
   • 证明了空间C的凸性和紧性。
   • 引入了E*变分的概念，并讨论了其在路径上的应用。

1. 存在性定理：
   • 建立了在给定初始条件下，存在满足方程(1.4)的解ξ。
   • 讨论了弱解的概念，并证明了弱解的存在性。
   • 通过设计近似序列和提取子序列来证明解的存在性。

1. 附录：
   • 提供了关于P⊥中元素平滑化、单调函数和次连续函数的讨论。
   • 包含了一些技术细节和辅助结果，这些结果对理解论文主体内容至关重要。