WikiEdge:ArXiv-2304.10418

• 标题：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
• 中文标题：具有指数照明数的常宽凸体
• 发布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
• 分类：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3

摘要：我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常宽凸体，其照明数至少为$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一个问题。此外，我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直径为$1$的有限集合，它们不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$个直径为$1$的球覆盖，这改进了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一个结果。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何证明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明数的常宽凸体？
• 如何改进 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的结果，证明有限直径集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 个直径为 1 的球所覆盖？
• 如何构造具有足够“分离”方向的点集 X，以保证直径 W(X) ≤ 2 cos α？
• 如何利用概率方法证明存在满足特定条件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每个点最多被 O(n log n) 个球 C(x, φ) 覆盖？

背景介绍

这篇论文的研究背景主要集中在以下几个方面：

1. 凸体的照明数问题：
   • 凸体的照明数是衡量凸体几何特性的一个重要参数，它与凸体的覆盖和分割问题紧密相关。
   • 照明数的概念最早由O. Schramm提出，他证明了凸体照明数的一个上界，但是否存在满足特定下界的凸体一直是一个未解决的问题。
   • G. Kalai在其研究中提出了关于照明数的猜想，即是否存在照明数至少为(1+ε)^n的常宽凸体，其中ε>0。
2. 常宽凸体的几何特性：
   • 常宽凸体是指任意两个平行支撑超平面之间的距离恒定的凸体，这类凸体在几何学中具有独特的性质和应用。
   • 常宽凸体的照明数问题与Borsuk猜想有关，Borsuk猜想是组合几何中的一个重要问题，涉及将凸体分割成直径较小的部分。
   • 研究常宽凸体的照明数有助于理解凸体的几何结构和性质，以及在组合几何中的应用。
3. 球面覆盖问题：
   • 球面覆盖问题涉及到如何用相同直径的球体覆盖一个给定的凸体或有限点集，这与凸体的照明数问题有直接联系。
   • J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆盖一个有限点集至少需要1.0645^n个直径为1的球体，而本研究进一步改进了这一结果。
   • 球面覆盖问题的研究有助于理解凸体的几何结构和优化覆盖策略。

综上所述，这篇论文的研究背景强调了凸体照明数问题的重要性，以及它与常宽凸体的几何特性和球面覆盖问题的联系，这些问题在组合几何和凸体几何中具有重要的理论和应用价值。

章节摘要

这篇论文是关于在高维欧几里得空间中具有恒定宽度的凸体的照明数的研究，主要内容包括：

1. 引言：
   • 定义了凸体、照明数等基本概念，并介绍了问题的背景。
   • 提出了主要问题：是否存在具有恒定宽度的凸体，其照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
   • 引用了O. Schramm的工作，证明了照明数的上界。
   • 通过构造特定的凸体，回答了G. Kalai提出的问题。

1. 主要定理和引理：
   • 提出了主要定理（Theorem 1），证明了存在满足特定照明数下界的凸体。
   • 引入了辅助的几何引理（Lemma 1），用于分析凸体的照明方向。
   • 提出了概率引理（Lemma 2），用于构造满足特定条件的点集。

1. 几何论证：
   • 通过几何观察和论证，证明了主要定理。
   • 详细分析了凸体的直径、照明方向与点集之间的关系。

1. 概率论证：
   • 使用概率方法证明了引理2，构造了满足特定条件的点集。
   • 讨论了点集在球面上的分布和覆盖问题。

1. 结论：
   • 证明了主要定理，即存在凸体的照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
   • 提出了一个改进的结果（Theorem 2），关于用相同直径的球覆盖有限点集的问题。
   • 讨论了这些结果与Borsuk猜想的关系，并提出了未来的研究方向。