WikiEdge:ArXiv-2304.10418

• 标题：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
• 中文标题：具有指数照明数的常宽凸体
• 发布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
• 分类：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3

摘要：我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常宽凸体，其照明数至少为$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一个问题。此外，我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直径为$1$的有限集合，它们不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$个直径为$1$的球覆盖，这改进了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一个结果。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何证明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明数的常宽凸体？
• 如何改进 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的结果，证明有限直径集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 个直径为 1 的球所覆盖？
• 如何构造具有足够“分离”方向的点集 X，以保证直径 W(X) ≤ 2 cos α？
• 如何利用概率方法证明存在满足特定条件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每个点最多被 O(n log n) 个球 C(x, φ) 覆盖？

背景介绍

这篇论文的研究背景主要集中在以下几个方面：

1. 凸体的照明数问题：
   • 凸体的照明数是衡量凸体几何特性的一个重要参数，它与凸体的覆盖和分割问题紧密相关。
   • 照明数的概念最早由O. Schramm提出，他证明了凸体照明数的一个上界，但是否存在满足特定下界的凸体一直是一个未解决的问题。
   • G. Kalai在其研究中提出了关于照明数的猜想，即是否存在照明数至少为(1+ε)^n的常宽凸体，其中ε>0。
2. 常宽凸体的几何特性：
   • 常宽凸体是指任意两个平行支撑超平面之间的距离恒定的凸体，这类凸体在几何学中具有独特的性质和应用。
   • 常宽凸体的照明数问题与Borsuk猜想有关，Borsuk猜想是组合几何中的一个重要问题，涉及将凸体分割成直径较小的部分。
   • 研究常宽凸体的照明数有助于理解凸体的几何结构和性质，以及在组合几何中的应用。
3. 球面覆盖问题：
   • 球面覆盖问题涉及到如何用相同直径的球体覆盖一个给定的凸体或有限点集，这与凸体的照明数问题有直接联系。
   • J. Bourgain和J. Lindenstrauss的工作表明，覆盖一个有限点集至少需要1.0645^n个直径为1的球体，而本研究进一步改进了这一结果。
   • 球面覆盖问题的研究有助于理解凸体的几何结构和优化覆盖策略。

综上所述，这篇论文的研究背景强调了凸体照明数问题的重要性，以及它与常宽凸体的几何特性和球面覆盖问题的联系，这些问题在组合几何和凸体几何中具有重要的理论和应用价值。

章节摘要

这篇论文是关于在高维欧几里得空间中具有恒定宽度的凸体的照明数的研究，主要内容包括：

1. 引言：
   • 定义了凸体、照明数等基本概念，并介绍了问题的背景。
   • 提出了主要问题：是否存在具有恒定宽度的凸体，其照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
   • 引用了O. Schramm的工作，证明了照明数的上界。
   • 通过构造特定的凸体，回答了G. Kalai提出的问题。

1. 主要定理和引理：
   • 提出了主要定理（Theorem 1），证明了存在满足特定照明数下界的凸体。
   • 引入了辅助的几何引理（Lemma 1），用于分析凸体的照明方向。
   • 提出了概率引理（Lemma 2），用于构造满足特定条件的点集。

1. 几何论证：
   • 通过几何观察和论证，证明了主要定理。
   • 详细分析了凸体的直径、照明方向与点集之间的关系。

1. 概率论证：
   • 使用概率方法证明了引理2，构造了满足特定条件的点集。
   • 讨论了点集在球面上的分布和覆盖问题。

1. 结论：
   • 证明了主要定理，即存在凸体的照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)。
   • 提出了一个改进的结果（Theorem 2），关于用相同直径的球覆盖有限点集的问题。
   • 讨论了这些结果与Borsuk猜想的关系，并提出了未来的研究方向。

研究方法

这篇论文通过几何观察和概率分析，研究了具有恒定宽度的凸体的照明数。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 几何观察：
   • 定义了凸体在n维欧几里得空间中被方向照亮的条件。
   • 引入了球冠和球面距离的概念，用于描述凸体的几何特性。
   • 证明了一个关键的几何引理，即如果凸体包含特定的球面区域，则该区域的边界点必须被特定的方向照亮。
2. 概率分析：
   • 使用概率方法构造了满足特定角度分离条件的点集。
   • 证明了存在足够大的点集，使得任意两点之间的球面距离满足特定的不等式。
   • 利用概率引理来保证凸体的边界点不能被少数方向同时照亮。
3. 凸体构造：
   • 利用已知的凸体包含性质，构造了具有恒定宽度的凸体。
   • 通过选择适当的点集，确保了凸体的直径满足特定的条件。
   • 证明了对于任意给定的n，都存在满足照明数下界的凸体。
4. 覆盖问题：
   • 将凸体的照明问题转化为覆盖问题，研究了用相同直径的球覆盖有限点集的最小数量。
   • 利用概率引理改进了之前关于覆盖问题的结果。
   • 证明了对于任意给定的n，存在不能被较少数量的球覆盖的点集。
5. 综合分析：
   • 结合几何观察和概率分析的结果，证明了凸体的照明数可以非常接近于某个指数函数的倒数。
   • 讨论了这些结果对于理解凸体的几何特性和解决相关的组合几何问题的意义。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过几何和概率方法可以有效地研究凸体的照明数，并且可以构造出具有特定照明性质的凸体。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 常宽凸体的照明数：证明了存在常宽凸体在n维欧几里得空间En中，其照明数至少为(cos(π/14) + o(1))^(-n)，回答了G. Kalai提出的问题。
2. 直径为1的有限集合的覆盖问题：证明了存在直径为1的有限集合在En中，不能被(2/√3 - o(1))n个直径为1的球覆盖，改进了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的结果。
3. 几何观察和引理：通过几何引理1，证明了如果一个方向ξ照亮了点x，则ξ必须属于某个“控制良好”的球帽。
4. 概率引理的应用：利用概率引理2，构造了满足特定条件的点集X，这些点具有足够“分离”的方向，从而保证了集合W = W(X)的直径为2 cos α。
5. 凸体K的构造：通过选择合适的X，证明了存在一个常宽凸体K，使得K的边界上的点不能被Sn−1中的一个方向ξ同时照亮超过O(n log n)个点。
6. 覆盖问题的改进：通过构造特定的点集X，证明了需要至少(1 + o(1)) * sin(π/3 + ε)^n个直径为√3的球来覆盖直径至多为√3的集合X。

这些结论为理解常宽凸体的照明数以及有限集合的覆盖问题提供了重要的理论基础，并且指出了在高维空间中这些问题的复杂性。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• 凸体（Convex body）：在欧几里得空间中，一个凸体是指一个凸的、有非空内部的紧凑集合。
• 常宽凸体（Constant width convex body）：一个常宽凸体是指其任意两个平行支撑超平面之间的距离相等的凸体。
• 照明数（Illumination number）：对于凸体K，照明数I(K)是指照亮K边界上所有点所需的最小方向数。
• 单位球面（Unit sphere）：在n维欧几里得空间中，单位球面Sn−1由所有范数为1的向量组成。
• 支撑超平面（Supporting hyperplane）：对于凸体K，一个支撑超平面是指与K相交且包含K边界点的超平面。
• 半线（Half-line）：半线是指从一点出发沿着一个方向无限延伸的直线。
• 球冠（Spherical cap）：对于单位球面上的点x和角度α，球冠C(x, α)是指包含x且与x的角距离小于等于α的点的集合。
• 直径（Diameter）：在几何学中，一个集合的直径是指集合中任意两点间的最大距离。
• 凸包（Convex hull）：一组点的凸包是指包含这些点的最小凸集。
• 方向（Direction）：在欧几里得空间中，一个方向可以由单位向量表示，指示了向量的方向。
• 高斯曲率（Gaussian curvature）：在微分几何中，一个曲面点的高斯曲率是该点处曲面弯曲程度的度量。
• Borsuk猜想（Borsuk's conjecture）：Borsuk猜想是关于将一个有限点集分割成更小直径的子集的问题。
• 同态覆盖（Homothetic covering）：同态覆盖是指用一系列与原集合相似的集合来覆盖原集合。
• 凸包直径（Convex hull diameter）：对于一组点，其凸包直径是指其凸包中任意两点间的最大距离。
• 凸锥（Convex cone）：一个凸锥是指由一个顶点和一条通过原点的轴定义的几何形状，包含所有顶点和轴之间的线段。
• 概率测度（Probabilistic measure）：概率测度是指在概率空间中，对事件集合进行度量的函数。
• 几何观察（Geometric observation）：几何观察是指通过几何直观或几何分析得出的结论或发现。
• 随机构造（Random construction）：随机构造是指在数学或统计模型中，通过随机过程生成的对象或集合。
• 对数阶（Logarithmic order）：对数阶是指函数增长速度的度量，通常用来描述算法的复杂度。