WikiEdge:ArXiv-2107.05769

• 标题：Peabodies of Constant Width
• 中文标题：常宽度的豌豆体
• 发布日期：2021-07-12 22:46:14+00:00
• 作者：Isaac Arelio, Luis Montejano, Deborah Oliveros
• 分类：math.MG, 52A15
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2107.05769v1

摘要：本文的目的是描述我们称之为“豌豆体”的常宽体的新的三维系列，这些常宽体是通过将Reuleaux四面体的所有六条边的小邻域替换为球体包络面的部分得到的。这个系列特别包含了两个Meissner固体和一个我们称之为“罗伯特体”的具有四面体对称性的体。构建这个系列的背后是经典的共焦二次曲面概念，例如，希尔伯特在他的著名书籍中讨论过。我们研究共焦二次曲面，并证明在两个共焦二次曲面中的四点的交替序列的距离总是满足一个简单的等式，并使用这个等式证明我们的体具有常宽性。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何构造具有恒定宽度的新三维体？
• 如何证明这些新构造的三维体具有恒定宽度？
• Robert's body的对称性和边界特性是什么？
• Robert's body与已知的Meissner体有何不同？
• 如何将球多面体的构造方法扩展到更一般的情况？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的历史与理论基础：
   • 常宽体及其性质在历史上已被研究了数个世纪，例如18世纪的Leonard Euler就以orbiforms的名字研究了它们。
   • 常宽体在流行数学中得到了相当多的关注，它们出现在视频、调查、装置和艺术等多个领域。
   • 有广泛的知识体系支持常宽体的研究，理论框架复杂而深入。
   • 例如，Birkhäuser在2019年出版的《Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry With Applications》一书就提供了这方面的介绍。
2. 常宽体的构造方法：
   1. 已知有一种非构造性的方法可以将一组集合扩展成相同直径的常宽体，但除了两个Meissner固体、明显的常宽体旋转体和Meissner多面体外，文献中只有少数具有具体有限构造过程的常宽体实例。
   2. 本文的目的是描述一种新的三维常宽体家族，称为peabodies，它们是通过替换Reuleaux四面体所有六条边的一个小邻域与球的包络部分来获得的。
   3. 这个家族特别包含了两个Meissner固体和一个具有四面体对称性的常宽体，被称为Robert's body。
3. 球多面体的构造方法的扩展：
   1. 作者还指出，可以从球多面体获得常宽体的构造方法，这些球多面体的奇点是自对偶图，通过替换这些球多面体的奇点与球的包络部分的截面来实现常宽体，而不改变球多面体的对称群。

章节摘要

这份文献是一篇关于常宽体及其性质的研究论文，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言
   1. 常宽体和它们的属性已经被研究了数个世纪。例如，莱昂哈德·欧拉在18世纪就研究了它们，并称之为orbiforms。这些形状在流行数学中受到了相当大的关注，并且有广泛的理论知识支持。

1. 共焦二次曲面
   1. 讨论了共焦二次曲面的概念，这是由Hilbert在其著作《几何与想象》中讨论的经典概念。证明了在两个共焦二次曲面中，四个点的交替序列的距离总是满足一个简单的方程。

1. 构建常宽体的新家族
   1. 描述了一个新的三维常宽体家族，称为peabodies，是通过替换Reuleaux四面体的所有六条边的邻域与球的包络线部分来获得的。这个家族特别包含了两个Meissner固体和一个具有四面体对称性的常宽体，称为Robert's body。

1. Robert's Body的分析
   1. 展示了Robert's body具有四面体对称性，并且其边界除了四面体的4个顶点外都是光滑的，在顶点处有顶点奇点。此外，通过展示它们在其中一个剖面上的差异，说明了Robert's body不是两个Meissner常宽体的Minkowski和。

1. 从球多面体构建常宽体
   1. 指出了从球多面体构建常宽体的过程，这些球多面体的奇点是自对偶图，可以通过替换这些球多面体的奇点与球的包络线部分来实现常宽体的构建，而不改变球多面体的对称性群。

1. 共焦豌豆荚装置
   1. 定义了豌豆荚装置，并讨论了如何使用这些装置构建常宽体。介绍了三种类型的豌豆荚装置：椭圆型、双曲型和抛物线型，并讨论了它们的属性。

研究方法

这篇论文通过构造和分析具有恒宽性质的三维几何体，探讨了恒宽体的构造方法和性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 构造方法：
   • 利用Reuleaux四面体作为基础，通过替换其所有六条边的邻域为球的包络线的截面，构造了一类新的三维恒宽体，称为peabodies。
   • 引入了共焦二次曲线的概念，利用共焦椭圆和双曲线的性质，证明了在共焦二次曲线上的交替四点的距离满足特定方程。
   • 构造了基于共焦二次曲线的三维“豌豆荚装置”（pea pod devices），并证明了这些装置的球体集合满足恒宽性质。
   • 通过将豌豆荚装置的球体集合与球冠相结合，构造了恒宽体的边界。
2. 几何性质分析：
   • 研究了共焦豌豆荚装置的几何性质，特别是它们如何组合形成恒宽体。
   • 分析了Robert’s body的对称性和边界性质，证明了它具有四面体的对称性，并且除了四个顶点外，边界是光滑的。
   • 探讨了Robert’s body与已知的Meissner体的Minkowski和的性质，证明了它们在某些截面上是不同的。
   • 将豌豆荚装置的构造方法扩展到更一般的Meissner豌豆荚多面体，展示了从Robert’s body到Meissner体的连续变形。
3. 理论框架应用：
   • 应用了凸几何的理论框架来分析和证明新构造的恒宽体的性质。
   • 使用了希尔伯特在《几何与想象》中讨论的共焦二次曲线的经典概念，将其应用于恒宽体的构造。
   • 引用了Blaschke-Lebesgue猜想，讨论了Robert’s body在最小体积恒宽体中的地位。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过构造和分析新的三维恒宽体，可以更深入地理解恒宽体的性质和构造方法，为进一步研究提供了新的视角和工具。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. Peabodies的构建：作者提出了一种新的三维实体家族——Peabodies，这些实体具有恒定的宽度，是通过将Reuleaux四面体的所有六条边的一个小邻域替换为球的包络部分的截面来获得的。
2. Peabodies的属性：Peabodies家族包括两个Meissner实体和一个具有四面体对称性的实体，称为Robert's实体。这些实体的边界除了四面体的4个顶点处有顶点奇点外，其余部分都是光滑的。
3. Peabodies与Meissner实体的关系：尽管Robert's实体和两个Meissner实体的Minkowski和都具有恒定的宽度2，并且都包含四面体abcd，但它们在某些截面上是不同的，因此它们不是同一个实体。
4. Peabodies的对称性：Robert's实体具有四面体abcd的对称性。
5. Peabodies的连续变形：从最对称的Robert's实体到经典的Meissner实体，存在一个连续的变形过程。
6. 一般Meissner Peabody多面体：作者将Peabodies的构建方法扩展到更一般的情况，使用自对偶图的度量嵌入来构建具有恒定宽度的实体，称为Meissner多面体。

这些结论为理解具有恒定宽度的三维实体提供了新的视角，并展示了如何通过变换和组合不同的几何形状来创建具有特定属性的新实体。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• 常宽体（Bodies of Constant Width）：指的是在所有方向上具有相同宽度的几何体。
• Reuleaux四面体（Reuleaux Tetrahedron）：一种由四个圆弧组成的四面体，每个圆弧位于四面体的一个面上。
• Meissner体（Meissner Solids）：两种具有常宽特性的著名几何体。
• Robert体（Robert’s Body）：一种具有四面体对称性的常宽体。
• 共焦二次曲面（Confocal Quadrics）：具有相同焦点的一组二次曲面。
• Dupin环面（Dupin Cyclide）：一种由一组具有共同焦点的球体的包络面形成的曲面。
• Steiner链（Steiner Chain）：一组嵌于两个共焦圆之间的圆盘，这些圆盘与这两个圆都相切。
• Pea Pod Device：一种由两个圆在平面内构成的框架，中心位于一条轴线上，它们的交点包含一个称为纵梁的弦。
• Peabody：通过替换Reuleaux四面体的所有六个边的一个小邻域与球体包络面的部分来获得的新的三维常宽体家族。
• Reuleaux三角形（Reuleaux Triangle）：一种由三个圆弧组成的三角形，每个圆弧位于三角形的一个边上。
• 球冠（Spherical Cap）：球体被平面切割后形成的曲面部分。
• 楔形豆荚面（Wedge-Pod Surfaces）：由共焦豌豆荚装置形成的曲面，用于构建常宽体的边界。
• Minkowski和（Minkowski Sum）：两个集合在Minkowski空间中的并集，用于生成新的几何形状。
• Blaschke-Lebesgue猜想（Blaschke-Lebesgue Conjecture）：关于在所有三维常宽体中体积最小值的猜想。
• 共焦豌豆荚装置（Confocal Pea Pod Devices）：具有共焦属性的豌豆荚装置，用于构建常宽体。
• 半正则四面体（Semi-Regular Tetrahedron）：一种特殊的四面体，其中通过相对边中点的线互相垂直。
• 顶点奇点（Vertex Singularities）：在几何体的顶点处出现的奇点。
• 球体包络面（Envelope of Spheres）：一组球体的共同包络面，用于构建常宽体。
• Meissner多面体（Meissner Polyhedra）：由Montejano和Roldan使用自对偶图的度量嵌入构建的常宽体。

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

• Anciaux, H., Guilfoyle, B. (2011). On the three-dimensional Blaschke-Lebesgue problem, Proc. Amer. Math. Soc., 139, 1831–1839.
  • 该文献提供了三维Blaschke-Lebesgue问题的研究成果，对本文中关于体积最小化问题的讨论提供了理论支持。

• Boltyanski, V. G., Yaglom, I. M. (1971). Konvexe Figuren und Körper, in: Enzyklopädie der Elementarmathematik, Band V (Geometrie), eds. P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich, and A. J. Chintschin, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, pp. 171–257.
  • 此文献为凸几何领域的经典著作，为本文提供了关于凸体和凸形的基本概念和理论。

• Hilbert, D., Cohen-Vossen, S. (1952). Geometry and the Imagination, Chelsea Publishing Company, New York.
  • Hilbert和Cohen-Vossen的著作提供了几何学中的经典理论，特别是关于共焦二次曲线的讨论，对本文的研究有重要影响。

• Martini, H., Montejano, L., Oliveros, D. (2019). Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry With Applications, Birkhäuser, Boston, Bassel, Stuttgart.
  • 该书提供了关于常宽体的全面介绍和应用，是本文研究常宽体和凸几何应用的重要参考。

• Meissner, E., Schilling, F. (1912). Drei Gipsmodelle von Flächen konstanter Breite, Z. Math. Phys., 60, 92–94.
  • Meissner和Schilling的工作为本文提供了早期关于常宽体的物理模型和理论基础。