WikiEdge:ArXiv-2304.04035

• 标题：The density of Meissner polyhedra
• 中文标题：Meissner多面体的密度
• 发布日期：2023-04-08 15:07:22+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.04035v2

摘要：我们考虑在 $\mathbb{R}^3$ 中的Meissner多面体。这些是常宽体，其边界由球面和纺锤形环面的部分组成。我们通过取同心球的适当交集来定义这些形状，并显示它们在Hausdorff拓扑中是常宽体空间的稠密集。这个密度断言基本上是由Sallee证明的。然而，我们提供了一个现代的观点，考虑到最近对球多面体的理解和基于这些形状构造常宽体的进展。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• Meissner多面体在三维空间中的密度是怎样的？
• 如何证明Meissner多面体在常宽体空间中是密集的？
• Meissner多面体的体积如何计算？
• 如何使用数学软件绘制Meissner多面体的图形？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Meissner多面体的密度研究：
   • Meissner多面体是三维空间中具有恒宽性质的几何体，它们的边界由球面和纺锤形环面的片段组成。
   • 这些几何体可以通过适当地相交相同的球体来定义，并且它们在恒宽体的空间中是密集的。
   • 先前的研究由Sallee等人进行，他们证明了某些恒宽体类也是密集的，但与Meissner多面体之间的关系尚不清楚。
   • 本文旨在通过现代视角，结合球体多面体的理解进展和基于这些形状构建恒宽体的新方法，来探讨Meissner多面体的密集性。
2. Reuleaux多面体与球体多面体的联系：
   • Reuleaux多面体是一类特殊的球体多面体，包括Reuleaux四面体，它们是Meissner四面体的构建基础。
   • 球体多面体是由有限集合的点在三维空间中定义的几何体，这些点的直径之和不超过1。
   • 本文将探讨Reuleaux多面体的构建，以及它们如何作为Meissner多面体的近似。
3. 恒宽体的几何特性：
   • 恒宽体是具有恒定宽度的几何体，即对于任意一对平行的支持平面，它们之间的距离是恒定的。
   • 这类几何体在数学和工程学中具有重要的应用，例如在机械设计和机器人路径规划中。
   • 本文将讨论Meissner多面体是否具有恒宽性质，并探索其几何特性。
4. 数学理论的应用与进展：
   • 本文将使用Hausdorff距离来衡量凸体之间的差异，并探讨Meissner多面体在恒宽体空间中的密集性。
   • 通过数学建模和计算，本文提供了对Meissner多面体体积的计算方法，以及如何使用Mathematica绘制这些几何体。

综上所述，这篇文献的背景强调了Meissner多面体在恒宽体研究中的重要性，探讨了它们的性质、构建方法以及在现代几何学中的应用。

章节摘要

这篇论文是关于Meissner多面体在三维空间中的密度研究，主要内容包括：

1. 引言：介绍了常宽体的概念，即具有恒定宽度的凸体，以及Meissner多面体的定义和性质。常宽体是一类特殊的凸体，其所有平行支撑平面之间的距离相等。文中通过球体的交集来构造Meissner多面体，并探讨了它们在常宽体空间中的密集性。
2. 纺锤体：详细讨论了纺锤体的几何特性，包括定义、不等式以及与常宽体的关系。纺锤体是一类由两个点确定的凸体，其边界由球体和纺锤面组成。文中还探讨了纺锤凸性的概念，以及如何通过纺锤凸性来描述常宽体。
3. Reuleaux多面体：研究了Reuleaux多面体，这是一类特殊的球体多面体，包括Reuleaux四面体。文中讨论了球体多面体的构建，Vázsonyi问题，以及通过球体多面体构造常宽体的方法。
4. Meissner多面体：定义了Meissner多面体，并探讨了它们的性质，包括常宽性质。文中通过在Reuleaux四面体的基础上进行几何变换来构造Meissner四面体，并证明了这些形状具有常宽性质。
5. 密度定理：证明了Meissner多面体在常宽体空间中的密集性。文中首先通过近似方法找到一个与给定常宽体接近的球体多面体，然后通过构造Meissner多面体来进一步逼近给定的常宽体。
6. 附录：
   • Meissner四面体的体积：计算了两种类型的Meissner四面体的体积，使用了Gauss-Bonnet公式和球体多面体的周长计算。
   • 绘图：描述了如何使用Mathematica软件绘制Reuleaux和Meissner四面体。

研究方法

这篇论文通过综合分析几何构造、拓扑学和计算几何方法，探讨了Meissner多面体在三维空间中的密度特性。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 几何构造：
   • 利用球体和纺锤体的交集定义Meissner多面体，展示了这些形状如何通过适当的球体交集形成。
   • 通过球体的交集和边界操作（如纺锤体替换）构造Reuleaux多面体和Meissner四面体。
   • 引入楔形和纺锤体的概念，用于描述和分析Reuleaux多面体的边缘和表面。
2. 拓扑学分析：
   • 研究了Reuleaux多面体的边界和顶点的拓扑特性，以及这些特性如何影响Meissner多面体的结构。
   • 利用Hausdorff距离定义和分析了常宽体空间中的密集性。
   • 证明了Meissner多面体在常宽体空间中的密集性定理。
3. 计算几何方法：
   • 使用计算几何技术（如Minkowski和）来近似和计算常宽体。
   • 利用球体和纺锤体的体积和表面积公式计算Meissner四面体的几何特性。
   • 通过Mathematica软件绘制和验证几何构造和定理。
4. 综合分析：
   • 结合几何构造、拓扑学和计算几何的结果，证明了Meissner多面体可以逼近任何三维常宽体。
   • 讨论了Meissner多面体在常宽体空间中的代表性和应用潜力。

这篇论文的方法论分析结果表明，Meissner多面体不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中，如机械工程和建筑设计中，也具有潜在的使用价值。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. Meissner多面体的密度：在三维空间中，Meissner多面体是具有恒定宽度的物体，其边界由球面和纺锤形环面的部分组成。这些形状可以通过适当地相交相同的球体来定义，并证明了它们在恒定宽度物体的空间中是密集的。
2. Reuleaux多面体：Reuleaux多面体是一类球体多面体，包括Reuleaux四面体。这些是构建Meissner四面体的基础，并且是Meissner多面体的构建模块。
3. 纺锤体和纺锤凸性：纺锤体凸性的概念有助于描述球体多面体和恒定宽度形状的一些基本属性。
4. Meissner四面体的体积计算：计算了Meissner四面体的体积，并且展示了如何使用Mathematica绘制这些图形。
5. Meissner多面体的恒宽性质：证明了每个Meissner多面体都具有恒宽性质，即从多面体的任何一点到其边界的最短距离是常数。
6. Meissner多面体的密集性定理：假设K是三维空间中的一个恒宽物体，对于任何ε > 0，都存在一个Meissner多面体M，使得K和M之间的Hausdorff距离小于或等于ε。

这些结论为理解三维空间中恒宽物体的几何特性提供了重要的理论基础，并指出了Meissner多面体在这些物体中所占的重要地位。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• Meissner polyhedra（Meissner多面体）：在三维空间中，由适当相交的相同球体定义的形状，边界由球面和纺锤形环面的部分组成。
• constant width bodies（等宽体）：在三维空间中，具有恒定宽度的物体，其对任何方向的平行支撑平面之间的距离都是恒定的。
• spindles（纺锤体）：由两个点确定的，包含这两个点的所有半径为1的闭球的交集。
• spindle convexity（纺锤凸性）：如果对于任意两点x, y，纺锤体Sp(x, y)都在集合K中，则称K是纺锤凸的。
• Reuleaux polyhedra（Reuleaux多面体）：通过相交半径为1的球体形成的多面体，包括Reuleaux四面体。
• V´azsonyi problem（V´azsonyi问题）：确定在直径为1的有限点集中，有多少对点之间的距离恰好为1。
• ball polyhedra（球多面体）：由有限非空点集X定义的几何形状，其中X的直径不超过1。
• extremal set（极值集）：在直径为1的有限点集中，具有最大数量直径对的集合。
• dual edge pairs（对偶边对）：在Reuleaux多面体中，如果X是极值集，则其边界上的边自然成对。
• Euler formula（欧拉公式）：对于紧致的、连通的、有界的多面体，其顶点数V减去边数E加上面数F等于2。
• Hausdorff distance（豪斯多夫距离）：两个凸体之间的距离，定义为最小的非负实数r，使得一个凸体包含在另一个凸体加上半径为r的闭球内。
• geodesic convex（测地线凸）：在球面上，如果一个集合包含连接其内任意两点的所有最短路径，则称该集合是测地线凸的。
• supporting sphere（支撑球）：如果一个球的边界通过凸体K上的点x，并且K完全位于球的一侧，则称该球为K在x处的支撑球。
• constant width（等宽）：如果一个凸体的直径为1，则称该凸体具有等宽。
• Reuleaux tetrahedron（Reuleaux四面体）：通过四个半径为1的球体相交形成的四面体。
• Meissner tetrahedra（Meissner四面体）：通过在Reuleaux四面体的边界上进行手术操作得到的具有等宽性质的四面体。
• spindle torus（纺锤环面）：通过旋转一条与旋转轴相交的圆生成的旋转曲面。
• short arcs（短弧）：在圆中连接两点的两条可能的圆弧中较短的那一条。
• cylindrically symmetric（圆柱对称）：如果一个集合关于通过两点的直线具有对称性，则称该集合是圆柱对称的。
• spherically convex（球面凸）：如果一个集合在球面上的任意两点间的最短路径（大圆弧）完全包含在该集合内，则称该集合是球面凸的。

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

• Bezdek, K., Langi, Z., Naszódi, M., & Papez, P. (2007). Ball-polyhedra. Discrete Comput. Geom., 38(2), 201–230.
  • 提供了球多面体的定义和性质，为本文中讨论的Meissner多面体提供了理论基础。

• Eggleston, H. G. (1965). Sets of constant width in finite dimensional Banach spaces. Israel J. Math., 3, 163–172.
  • 讨论了常宽集在有限维Banach空间中的性质，为本文中常宽体的讨论提供了背景。

• Gruenbaum, B. (1956). A proof of Vazonyi’s conjecture. Bull. Res. Council Israel. Sect. A, 6, 77–78.
  • 提供了Vazonyi猜想的证明，该猜想与本文中讨论的球多面体的某些特性相关。

• Harbourne, B. (n.d.). Volume and surface area of the spherical tetrahedron (aka reuleaux tetrahedron) by geometrical methods. Retrieved from https://www.math.unl.edu/~bharbourne1/ST/sphericaltetrahedron.html.
  • 通过几何方法计算了球四面体的体积和表面积，为本文中体积计算提供了参考。

• Jessen, B. (1929). Über konvexe Punktmengen konstanter Breite. Math. Z., 29(1), 378–380.
  • 研究了常宽凸点集，为本文中常宽体的讨论提供了早期的理论支持。