WikiEdge:ArXiv-2305.04485

• 标题：Note on illuminating constant width bodies
• 中文标题：关于照亮常宽体的注记
• 发布日期：2023-05-08 06:21:57+00:00
• 作者：Alexey Glazyrin
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2305.04485v1

摘要：最近，Arman，Bondarenko和Prymak构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的常宽体，其照明数是$n$的指数。在这篇笔记中，我们通过推广构造来改进他们的界限。特别地，我们构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的常宽体，其照明数至少为$(\tau+o(1))^n$，其中$\tau\approx 1.047$。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何改进已知的具有常宽体的照明数的上界？
• 如何构造一个具有常宽体的凸体，其照明数在维度上呈指数增长？
• 如何确定凸体的最小照明集的大小？
• 如何通过改变锥体的参数来获得更高的照明数？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的照明问题：
   • 一个凸体的边界点被一个方向（单位向量）照亮，如果从该点出发的射线在该方向上与凸体的内部相交。
   • 确定一个给定凸体或给定类别的凸体的最小照明集大小，即照明数，是一个自然而有趣的问题。
   • Schramm证明了任何n维常宽体的照明数不超过(√3/2 + o(1))n。
   • 之前的问题，是否存在具有指数级照明数的常宽体，最近由Arman, Bondarenko, 和 Prymak给出了肯定的答案。
   • 他们的构造基于单位球内嵌入的全等直角球锥的并集，这些球锥的直径等于每个球锥的直径。
   • 通过选择球锥的顶点，根据Boroczky和Wintsche构建的经济覆盖球面的方法，并估算可以被相同方向照亮的顶点数，他们展示了存在一个具有指数级照明数的常宽体。
   • 本文的主要思想是推广他们的构造，通过这种方式获得在选择球锥顶点时更多的自由度。
   • 作者考虑了顶点位于单位球内，但底面属于可能具有不同半径R的同心球的直角球锥。
   • 通过固定R、顶点到底面的距离d、球锥轴线与母线之间的夹角α，以及底面球的球半径β，作者提出了一种新的构造方法。
   • 作者通过选择适当的球锥参数，证明了存在一个n维常宽体，其照明数至少为(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。

章节摘要

这篇论文是关于在高维空间中，具有恒定宽度的凸体的照明数的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言：
   • 定义了凸体的边界点被方向（单位向量）照亮的概念。
   • 提出了确定给定凸体或凸体类别的最小照明集大小的问题。
   • 引用了Schramm的研究，指出任何具有恒定宽度的n维体的照明数不超过(√3/2 + o(1))n。
   • Arman, Bondarenko, 和 Prymak最近证明了存在具有指数级照明数的恒定宽度体。
   • 论文的主要贡献是改进了他们的界限，通过推广他们的构造方法。

1. 构造方法：
   • 描述了基于单位球内相等的右球锥体的并集的构造方法。
   • 引入了新的参数，包括球锥的顶点在单位球上，但底面属于一个可能不同半径的同心球。
   • 提出了一个引理，描述了W(X)的直径为d的充分条件。

1. 主要结果：
   • 使用了两个来自[1]的引理来支持主要结果。
   • 提出了一个定理，对于每一个正整数n，都存在一个n维的恒定宽度体K，其照明数至少为(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。

1. 证明：
   • 详细说明了如何通过选择适当的球锥参数来证明定理1.4。
   • 通过设置d = 2R和2β + α = π/2来最大化α。
   • 使用余弦定理计算了R0，d0，β0和α0的值。
   • 证明了通过构造的集合X满足引理1.1的所有条件，从而W(X)的直径为d。
   • 证明了K的照明数至少为|X|/O(n log n)。

1. 参考文献：
   • 列出了相关的参考文献，包括原始的构造方法，球体覆盖问题，凸体的凸性，以及照明集的问题。

研究方法

这篇论文通过数学构造和理论分析，探讨了具有常宽的凸体的照明数。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学构造：
   • 利用单位球面上的全等直角球锥的并集，构建具有常宽的凸体。
   • 选择球锥的顶点，使得它们的直径等于球锥的直径，从而确保凸体具有常宽。
   • 通过调整球锥的参数（如半径、距离、角度），优化照明数的下界。
2. 理论分析：
   • 利用球面距离和球冠的概念，推导出保证凸体直径的条件。
   • 通过球锥的几何特性，分析照明方向与球锥顶点之间的关系。
   • 利用已知的凸体照明数理论，如Schramm的结果，来界定新构造凸体的照明数。
3. 优化参数选择：
   • 通过选择适当的球锥参数，如半径R、距离d、角度α和β，来最大化照明数。
   • 使用三角函数和余弦定理来精确计算参数值，确保凸体的直径和照明数满足理论要求。
   • 通过数学推导，证明所构造的凸体具有至少为(τ + o(1))n的照明数，其中τ ≈ 1.047。
4. 结果验证：
   • 通过构造的凸体和理论分析，验证照明数的下界。
   • 利用球面覆盖理论，估计可以被同一方向照亮的顶点数量，从而得出照明数的下界。
   • 通过比较新结果与已知结果，展示新构造凸体的照明数具有指数增长的特性。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过精确的数学构造和理论分析，可以构造出具有指数级照明数的常宽凸体，这为理解凸体的照明性质提供了新的视角。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 改进的常宽体照明数：作者通过改进Arman, Bondarenko, 和 Prymak的构造方法，构建了一个在Rn中的常宽体，其照明数至少是(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
   1. 构造方法的一般化：通过考虑顶点位于单位球面上，但底面属于同心球的常宽体，作者获得了在选择锥顶点时更多的自由度。
   2. 参数选择：作者设定了d = 2R，使得条件(3)自动满足，并设定2β + α = π/2以最大化角度α。
   3. 照明数的下界：通过构造和参数选择，证明了照明数至少是(cos(α0 − ε) + o(1))−n。
2. 主要定理的证明：论文证明了定理1.4，即对于每一个正整数n，都存在一个n维的常宽体K，其照明数至少是(τ + o(1))n，其中τ = (cos α0)−1 ≈ 1.047。
   1. 照明数的计算：通过计算，作者得出照明数至少是(1 + o(1))sin ϕ^n。
   2. 参数的确定：作者通过解方程sin(2β) = cos α/2来确定R的值，并计算出d0，β0，α0。
3. 参考文献的引用：论文引用了相关文献来支持其研究结果和方法。