WikiEdge:ArXiv-2305.04485

• 标题：Note on illuminating constant width bodies
• 中文标题：关于照亮常宽体的注记
• 发布日期：2023-05-08 06:21:57+00:00
• 作者：Alexey Glazyrin
• 分类：math.MG
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2305.04485v1

摘要：最近，Arman，Bondarenko和Prymak构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的常宽体，其照明数是$n$的指数。在这篇笔记中，我们通过推广构造来改进他们的界限。特别地，我们构造了一个在$\mathbb{R}^n$中的常宽体，其照明数至少为$(\tau+o(1))^n$，其中$\tau\approx 1.047$。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何改进已知的具有常宽体的照明数的上界？
• 如何构造一个具有常宽体的凸体，其照明数在维度上呈指数增长？
• 如何确定凸体的最小照明集的大小？
• 如何通过改变锥体的参数来获得更高的照明数？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体的照明问题：
   • 一个凸体的边界点被一个方向（单位向量）照亮，如果从该点出发的射线在该方向上与凸体的内部相交。
   • 确定一个给定凸体或给定类别的凸体的最小照明集大小，即照明数，是一个自然而有趣的问题。
   • Schramm证明了任何n维常宽体的照明数不超过(√3/2 + o(1))n。
   • 之前的问题，是否存在具有指数级照明数的常宽体，最近由Arman, Bondarenko, 和 Prymak给出了肯定的答案。
   • 他们的构造基于单位球内嵌入的全等直角球锥的并集，这些球锥的直径等于每个球锥的直径。
   • 通过选择球锥的顶点，根据Boroczky和Wintsche构建的经济覆盖球面的方法，并估算可以被相同方向照亮的顶点数，他们展示了存在一个具有指数级照明数的常宽体。
   • 本文的主要思想是推广他们的构造，通过这种方式获得在选择球锥顶点时更多的自由度。
   • 作者考虑了顶点位于单位球内，但底面属于可能具有不同半径R的同心球的直角球锥。
   • 通过固定R、顶点到底面的距离d、球锥轴线与母线之间的夹角α，以及底面球的球半径β，作者提出了一种新的构造方法。
   • 作者通过选择适当的球锥参数，证明了存在一个n维常宽体，其照明数至少为(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。

章节摘要

这篇论文是关于在高维空间中，具有恒定宽度的凸体的照明数的研究，论文的主要内容可以概括如下：

1. 引言：
   • 定义了凸体的边界点被方向（单位向量）照亮的概念。
   • 提出了确定给定凸体或凸体类别的最小照明集大小的问题。
   • 引用了Schramm的研究，指出任何具有恒定宽度的n维体的照明数不超过(√3/2 + o(1))n。
   • Arman, Bondarenko, 和 Prymak最近证明了存在具有指数级照明数的恒定宽度体。
   • 论文的主要贡献是改进了他们的界限，通过推广他们的构造方法。
2. 构造方法：
   • 描述了基于单位球内相等的右球锥体的并集的构造方法。
   • 引入了新的参数，包括球锥的顶点在单位球上，但底面属于一个可能不同半径的同心球。
   • 提出了一个引理，描述了W(X)的直径为d的充分条件。
3. 主要结果：
   • 使用了两个来自[1]的引理来支持主要结果。
   • 提出了一个定理，对于每一个正整数n，都存在一个n维的恒定宽度体K，其照明数至少为(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
4. 证明：
   • 详细说明了如何通过选择适当的球锥参数来证明定理1.4。
   • 通过设置d = 2R和2β + α = π/2来最大化α。
   • 使用余弦定理计算了R0，d0，β0和α0的值。
   • 证明了通过构造的集合X满足引理1.1的所有条件，从而W(X)的直径为d。
   • 证明了K的照明数至少为|X|/O(n log n)。
5. 参考文献：
   • 列出了相关的参考文献，包括原始的构造方法，球体覆盖问题，凸体的凸性，以及照明集的问题。

研究方法

这篇论文通过数学构造和理论分析，探讨了具有常宽的凸体的照明数。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学构造：
   • 利用单位球面上的全等直角球锥的并集，构建具有常宽的凸体。
   • 选择球锥的顶点，使得它们的直径等于球锥的直径，从而确保凸体具有常宽。
   • 通过调整球锥的参数（如半径、距离、角度），优化照明数的下界。
2. 理论分析：
   • 利用球面距离和球冠的概念，推导出保证凸体直径的条件。
   • 通过球锥的几何特性，分析照明方向与球锥顶点之间的关系。
   • 利用已知的凸体照明数理论，如Schramm的结果，来界定新构造凸体的照明数。
3. 优化参数选择：
   • 通过选择适当的球锥参数，如半径R、距离d、角度α和β，来最大化照明数。
   • 使用三角函数和余弦定理来精确计算参数值，确保凸体的直径和照明数满足理论要求。
   • 通过数学推导，证明所构造的凸体具有至少为(τ + o(1))n的照明数，其中τ ≈ 1.047。
4. 结果验证：
   • 通过构造的凸体和理论分析，验证照明数的下界。
   • 利用球面覆盖理论，估计可以被同一方向照亮的顶点数量，从而得出照明数的下界。
   • 通过比较新结果与已知结果，展示新构造凸体的照明数具有指数增长的特性。

这篇论文的方法论分析结果表明，通过精确的数学构造和理论分析，可以构造出具有指数级照明数的常宽凸体，这为理解凸体的照明性质提供了新的视角。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 改进的常宽体照明数：作者通过改进Arman, Bondarenko, 和 Prymak的构造方法，构建了一个在Rn中的常宽体，其照明数至少是(τ + o(1))n，其中τ ≈ 1.047。
   1. 构造方法的一般化：通过考虑顶点位于单位球面上，但底面属于同心球的常宽体，作者获得了在选择锥顶点时更多的自由度。
   2. 参数选择：作者设定了d = 2R，使得条件(3)自动满足，并设定2β + α = π/2以最大化角度α。
   3. 照明数的下界：通过构造和参数选择，证明了照明数至少是(cos(α0 − ε) + o(1))−n。
2. 主要定理的证明：论文证明了定理1.4，即对于每一个正整数n，都存在一个n维的常宽体K，其照明数至少是(τ + o(1))n，其中τ = (cos α0)−1 ≈ 1.047。
   1. 照明数的计算：通过计算，作者得出照明数至少是(1 + o(1))sin ϕ^n。
   2. 参数的确定：作者通过解方程sin(2β) = cos α/2来确定R的值，并计算出d0，β0，α0。
3. 参考文献的引用：论文引用了相关文献来支持其研究结果和方法。

术语表

这篇文章的术语表如下：

• 常宽体（Constant Width Body）：在n维空间中，无论从哪个方向观察，其投影宽度都相等的凸体。
• 照明数（Illumination Number）：指使一个凸体的每个边界点至少被一个方向照亮的最小方向集的大小。
• 单位向量（Unit Vector）：长度为1的向量。
• 射线（Ray）：从一点出发沿着某一方向无限延伸的直线。
• 凸体（Convex Body）：在n维空间中，任意两点间的线段完全包含在该体内部的几何体。
• 边界点（Boundary Point）：凸体表面上的点。
• 方向集（Set of Directions）：一组单位向量，用于描述从凸体的边界点发出的射线的方向。
• 球面距离（Spherical Distance）：在球面上两点之间的最短路径长度。
• 球冠（Spherical Cap）：以球面上一点为中心，以一定角度为半径的球面区域。
• 锥体（Cone）：由一点出发的半射线所形成的几何体。
• 单位球（Unit Sphere）：以原点为中心，半径为1的球体。
• 直径（Diameter）：通过一个几何体的最长直线段。
• 内切（Inscribed）：一个几何体完全位于另一个几何体内部，且与后者的边界相切。
• 外接（Circumscribed）：一个几何体完全包围另一个几何体，且与后者的边界相切。
• 球半径（Spherical Radius）：球面上一点到球心的距离。
• 轴截面（Axial Section）：通过锥体轴线的截面。
• 顶点（Apex）：锥体的顶点。
• 基底（Base）：锥体的底面。
• 球面半径（Spherical Radius）：球面上一点到球心的距离。
• 方向（Direction）：射线的方向，通常由单位向量表示。
• 凸包（Convex Hull）：一组点的凸包是包含这些点的最小凸集。
• 覆盖（Covering）：用一组几何体覆盖另一个几何体，使得后者完全被前者覆盖。
• 经济覆盖（Economical Covering）：用最少数量的几何体实现覆盖。
• 法向量（Normal Vector）：垂直于曲面的向量。
• 余弦值（Cosine Value）：在三角函数中，一个角的邻边与斜边的比值。
• 正弦值（Sine Value）：在三角函数中，一个角的对边与斜边的比值。
• 弧长（Arc Length）：圆或曲线上两点之间的长度。
• 角度（Angle）：两条射线共享一个端点时所形成的空间。
• 根号（Square Root）：一个数的平方根。
• 近似值（Approximation）：对一个数值或表达式的近似估计。
• 参数（Parameter）：在数学或物理问题中，用来描述或定义问题特性的变量。
• 定理（Theorem）：经过证明的数学命题。
• 引理（Lemma）：在证明某个定理过程中，用来辅助证明的较小的定理。
• 凸性（Convexity）：描述几何体的一种性质，即体内部任意两点间的线段完全包含在该体内部。
• 球面（Spherical Surface）：球体的表面。
• 球心（Center of Sphere）：球体的中心点。
• 半径（Radius）：从圆心到圆周上任意一点的距离。
• 内切球（Inscribed Sphere）：完全位于多面体内，与多面体的每个面都相切的球体。
• 外接球（Circumscribed Sphere）：完全包围一个多面体，与多面体的每个顶点都相切的球体。
• 交集（Intersection）：两个或多个集合共有的元素组成的集合。
• 并集（Union）：两个或多个集合中所有元素组成的集合。
• 补集（Complement）：全集中不属于某个集合的元素组成的集合。
• 直径比（Diameter Ratio）：两个直径的比值。
• 角度差（Angle Difference）：两个角度之间的差值。
• 距离（Distance）：两点之间的直线长度。
• 球面距离（Spherical Distance）：球面上两点之间的最短路径长度。

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

• Arman, A., Bondarenko, A., & Prymak, A. (2023). Convex bodies of constant width with exponential illumination number. arXiv:2304.10418.
  • 提供了关于常宽体具有指数级照明数的先前研究，为本文提供了重要的理论基础。
• Boltyanski, V. G. (1960). The problem of illumination of the boundary of a convex body (in Russian). Izv. Mold. Fil. Akad. Nauk SSSR, no. 10, 79-86.
  • 讨论了凸体边界照明问题，为本文提供了照明数概念的起源。
• Böröczky, K. J., & Wintsche, G. (2003). Covering the sphere by equal spherical balls. In Discrete and Computational Geometry, The Goodman-Pollack Festschrift (pp. 235-251).
  • 提供了球体覆盖问题的解决方案，对本文中球体覆盖方法的改进提供了参考。
• Eggleston, H. G. (1958). Convexity. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No. 47, Cambridge University Press, New York.
  • 作为凸体理论的经典著作，为本文提供了凸体理论的基础知识。
• Kalai, G. (2015). Some old and new problems in combinatorial geometry I: around Borsuk’s problem. Surveys in combinatorics 2015, London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 424, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 147-174.
  • 提供了组合几何中一些经典和新问题的讨论，为本文提供了问题背景和相关研究的参考。