WikiEdge:ArXiv-2408.17372v1/abs：修订间差异
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-\Delta_g u_1 = 2\rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, | -\Delta_g u_1 = 2\rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac 1 {|\Sigma|_g}\right) - \rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{在} \,\mathring\Sigma$$ 和 $$ | ||
dv_g} - \frac 1 {|\Sigma|_g}\right) - \rho_2\left( \frac{V_2 | -\Delta_g u_2 = 2\rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) - \rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{在} \,\mathring\Sigma$$ 带有边界条件 $ | ||
e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) | \partial_{\nu_g} u_1 = \partial_{\nu_g} u_2 = 0 \text{在} \, \partial \Sigma,$ 其中 $(\Sigma, g)$ 是一个具有内部 $\mathring\Sigma$ 和光滑边界 $\partial\Sigma$ 的紧致黎曼曲面，$\rho_i$ 是一个非负参数，$V_i$ 是一个光滑的正函数，对于 $i=1,2$。我们通过 [[Lyapunov-Schmidt 减法]]和[[变分方法]]构造了一族爆破解，其中一个分量从上方保持均匀有界，而另一个分量在内部和边界的指定点处表现出部分爆破。这一构造基于所谓的[[影子系统]]的非退化解的存在。此外，我们在三种情况下建立了部分爆破解的存在性：(i) 对于任意足够小的 $\rho_2>0$；(ii) 对于一般的 $V_1, V_2$ 和任意 $\rho_2\in (0,2\pi)$；(iii) 对于一般的 $V_1, V_2$，[[Euler 特征]] $\chi(\Sigma)<1$ 和任意 $\rho_2\in (2\pi,+\infty)\setminus 2\pi \mathbb{N}_+$。 | ||
\text{在} \,\mathring\Sigma$$ 和 $$ | |||
-\Delta_g u_2 = 2\rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, | |||
dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) - \rho_1\left( \frac{V_1 | |||
e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) | |||
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\partial_{\nu_g} u_1 = \partial_{\nu_g} u_2 = 0 \text{在} \, \partial | |||
\Sigma,$ 其中 $(\Sigma, g)$ 是一个具有内部 $\mathring\Sigma$ 和光滑边界 $\partial\Sigma$ 的紧致黎曼曲面，$\rho_i$ 是一个非负参数，$V_i$ 是一个光滑的正函数，对于 $i=1,2$。我们通过 [[Lyapunov-Schmidt 减法]]和[[变分方法]]构造了一族爆破解，其中一个分量 | |||
2024年9月2日 (一) 17:18的版本
- 标题：Partial Blow-up Phenomena in the $SU(3)$ Toda System on Riemann Surfaces
- 中文标题：部分爆破现象在黎曼曲面上的 $SU(3)$ Toda 系统
- 发布日期：2024-08-30T16:06:08+00:00
- 作者：Zhengni Hu, Mohameden Ahmedou, Thomas Bartsch
- 分类：math.AP, 35J57, 58J05
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/2408.17372v1
摘要：本研究探讨了在具有光滑边界的紧致黎曼曲面上的 $SU(3)$ Toda 系统的部分爆破现象。我们考虑以下带有 Neumann 边界条件的耦合 Liouville 系统： $$ -\Delta_g u_1 = 2\rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac 1 {|\Sigma|_g}\right) - \rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{在} \,\mathring\Sigma$$ 和 $$ -\Delta_g u_2 = 2\rho_2\left( \frac{V_2 e^{u_2}}{\int_{\Sigma} V_2 e^{u_2} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) - \rho_1\left( \frac{V_1 e^{u_1}}{\int_{\Sigma} V_1 e^{u_1} \, dv_g} - \frac{1}{|\Sigma|_g}\right) \text{在} \,\mathring\Sigma$$ 带有边界条件 $ \partial_{\nu_g} u_1 = \partial_{\nu_g} u_2 = 0 \text{在} \, \partial \Sigma,$ 其中 $(\Sigma, g)$ 是一个具有内部 $\mathring\Sigma$ 和光滑边界 $\partial\Sigma$ 的紧致黎曼曲面，$\rho_i$ 是一个非负参数，$V_i$ 是一个光滑的正函数，对于 $i=1,2$。我们通过 Lyapunov-Schmidt 减法和变分方法构造了一族爆破解，其中一个分量从上方保持均匀有界，而另一个分量在内部和边界的指定点处表现出部分爆破。这一构造基于所谓的影子系统的非退化解的存在。此外，我们在三种情况下建立了部分爆破解的存在性：(i) 对于任意足够小的 $\rho_2>0$；(ii) 对于一般的 $V_1, V_2$ 和任意 $\rho_2\in (0,2\pi)$；(iii) 对于一般的 $V_1, V_2$，Euler 特征 $\chi(\Sigma)<1$ 和任意 $\rho_2\in (2\pi,+\infty)\setminus 2\pi \mathbb{N}_+$。