WikiEdge:ArXiv速递/2025-05-28：修订间差异

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*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1
'''中文摘要'''：摘要：我们提出了一种新颖的[[四元数]]-[[复数]]统一框架来表述不可压缩[[Navier-Stokes方程]]，该框架揭示了[[粘性流体]]运动的[[几何结构]]，并解决了[[克雷数学研究所]]的[[千禧年大奖难题]]。通过引入[[复坐标]]$z = x + iy$并将[[速度场]]表示为$F = u + iv$，我们证明[[非线性对流项]]可分解为$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，从而分离[[无粘对流]]与[[粘性耦合效应]]。我们使用[[四元数]]将该框架扩展到[[三维]]，并通过[[四元数代数]]固有的[[几何约束]]证明[[全局正则性]]。[[不可压缩约束]]自然地表现为要求$\frac{\partial F}{\partial z}$为[[纯虚数]]，从根本上将[[流体力学]]与[[复分析]]联系起来。我们的主要结果表明，[[四元数正交关系]]通过确保[[湍流能量级联]]保持自然有界来防止[[有限时间奇点]]。[[四元数-复数公式]]表明，[[湍流]]代表[[四元数解析性]]的破坏同时保持[[几何稳定性]]，为理解真实流体为何表现出有限[[湍流行为]]而非[[数学奇点]]提供了严格的[[数学基础]]。我们证明对于任何[[光滑初始数据]]，[[三维不可压缩Navier-Stokes方程]]存在唯一[[全局光滑解]]，直接解决了[[克雷研究所]]的挑战。在[[大气边界层]]物理中的应用展示了该框架对[[环境建模]]、[[天气预报]]和[[气候建模]]的直接实践意义。
'''中文摘要'''：摘要：我们提出了一种新颖的[[四元数]]-[[复数]]统一框架来表述不可压缩[[Navier-Stokes方程]]，该框架揭示了[[粘性流体]]运动的[[几何结构]]，并解决了[[克雷数学研究所]]的[[千禧年大奖难题]]。通过引入[[复坐标]]$z = x + iy$并将[[速度场]]表示为$F = u + iv$，我们证明[[非线性对流项]]可分解为$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，从而分离[[无粘对流]]与[[粘性耦合效应]]。我们使用[[四元数]]将该框架扩展到[[三维]]，并通过[[四元数代数]]固有的[[几何约束]]证明[[全局正则性]]。[[不可压缩约束]]自然地表现为要求$\frac{\partial F}{\partial z}$为[[纯虚数]]，从根本上将[[流体力学]]与[[复分析]]联系起来。我们的主要结果表明，[[四元数正交关系]]通过确保[[湍流能量级联]]保持自然有界来防止[[有限时间奇点]]。[[四元数-复数公式]]表明，[[湍流]]代表[[四元数解析性]]的破坏同时保持[[几何稳定性]]，为理解真实流体为何表现出有限[[湍流行为]]而非[[数学奇点]]提供了严格的[[数学基础]]。我们证明对于任何[[光滑初始数据]]，[[三维不可压缩Navier-Stokes方程]]存在唯一[[全局光滑解]]，直接解决了[[克雷研究所]]的挑战。在[[大气边界层]]物理中的应用展示了该框架对[[环境建模]]、[[天气预报]]和[[气候建模]]的直接实践意义。
== 摘要 ==
* '''原文标题'''：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
* '''中文标题'''：递归差分范畴与拓扑斯理论普适性
* '''发布日期'''：2025-05-28 23:18:04+00:00
* '''作者'''：Andreu Ballus Santacana
* '''分类'''：math.CT, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
*'''原文链接'''：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1
'''中文摘要'''：我们提出了一种彻底极简的[[范畴论]]基础，用于[[逻辑]]、[[语义]]和[[计算]]，其构建仅基于[[递归]]差异的单一生成公理。从空记忆[[M0]]出发，通过[[D]]的迭代标记扩展，我们构建自由范畴[[M]]及其[[层]][[拓扑斯]][[Sh(M)]]。我们证明：
[[模态完备性]]：[[Sh(M)]]上的[[Lawvere-Tierney拓扑]]纯粹通过自由[[幺半群]][[D*]]的子幺半群分类所有标准[[模态逻辑]]（[[K]]、[[T]]、[[S4]]、[[S5]]）。
[[不动点表达性]]：无限分支上的内部[[μ演算]]完整实现了[[Janin-Walukiewicz定理]]。
[[ZFC]]与[[集合]][[建模]]：[[Sh(M)]]通过常层嵌入[[Set]]，并通过递归下降内化[[ZFC模型]]。
[[图灵可编码性]]：有限[[自动机]]和[[图灵机]]层在句法层面产生，形成完全可机械化的内部语义。
[[内部元定理]]：通过完全下降和一阶[[上同调]][[H1]]的消失，[[Godel完备性]]和[[Lowenheim-Skolem定理]]在内部成立。
我们进一步构造忠实[[几何嵌入]]：
[[Set]] -> [[Sh(M)]] -> [[Eff]]，以及[[Sh(M)]] -> [[sSet]]，
连接[[可实现性]]和[[单纯形]][[框架]]。与[[同伦类型论]]及经典[[位点理论]][[模型]]不同，[[Sh(M)]]展现出完全的上同调平凡性、无[[挠子]]、以及所有局部数据的完全保守粘合。由此我们实现了[[Lawvere]]的愿景——从单一句法公理完全导出语义（[[模态]]、[[集合论]]、[[计算]]和[[元逻辑]]），在单一递归原则下统一[[逻辑]]、[[语义]]与[[计算]]。

2025年5月30日 (五) 09:11的版本

摘要

  • 原文标题：A recursive method for computing singular solutions in corners with homogeneous Dirichlet-Robin boundary condition with power-law coefficient variation
  • 中文标题：具有幂律系数变化的齐次Dirichlet-Robin边界条件下角点奇解计算的递归方法
  • 发布日期：2025-05-28 16:58:19+00:00
  • 作者：N. Piña-León, V. Mantič, S. Jiménez-Alfaro
  • 分类：math.AP
  • 原文链接：http://arxiv.org/abs/2505.22585v1

中文摘要：本研究提出了一种递归方法，用于计算角域中拉普拉斯方程的渐近解。该问题在一侧满足齐次Dirichlet边界条件，另一侧满足具有幂律系数变化（指数为$\alpha\in \mathbb{R}$）的Robin边界条件（D-R角问题）。该D-R角问题的渐近解表示为：主项（齐次Dirichlet-Neumann（D-N）或Dirichlet-Dirichlet（D-D）角问题的解）与有限或无限高阶影子项级数（采用含幂对数项的调和基函数）之和。研究表明，基于递归非齐次D-N或D-D角问题的递归过程分别在$\alpha > -1$和$\alpha < -1$时收敛。对于临界情况$\alpha=-1$，给出了渐近解的闭合表达式。推导并分析了若干典型D-R角问题的渐近解，其中两个实例应用于线弹性断裂力学中反平面III型桥接裂纹问题。本成果可推广至热传导（热阻条件）、声学/静电学（阻抗条件）及弹性/结构分析（Winkler弹簧边界条件）等众多物理与工程领域。

摘要

  • 原文标题：A unified quaternion-complex framework for incompressible Navier-Stokes equations: new insights and implications
  • 中文标题：不可压缩Navier-Stokes方程的四元数-复数统一框架：新见解与启示
  • 发布日期：2025-05-28 20:37:33+00:00
  • 作者：Farrukh A. Chishtie
  • 分类：physics.flu-dyn, math.CV
  • 原文链接：http://arxiv.org/abs/2505.22853v1

中文摘要：摘要：我们提出了一种新颖的四元数-复数统一框架来表述不可压缩Navier-Stokes方程，该框架揭示了粘性流体运动的几何结构，并解决了克雷数学研究所的千禧年大奖难题。通过引入复坐标$z = x + iy$并将速度场表示为$F = u + iv$，我们证明非线性对流项可分解为$(u \cdot \nabla)F = F \cdot \frac{\partial F}{\partial z} + F^* \cdot \frac{\partial F}{\partial \bar{z}}$，从而分离无粘对流与粘性耦合效应。我们使用四元数将该框架扩展到三维，并通过四元数代数固有的几何约束证明全局正则性。不可压缩约束自然地表现为要求$\frac{\partial F}{\partial z}$为纯虚数，从根本上将流体力学与复分析联系起来。我们的主要结果表明，四元数正交关系通过确保湍流能量级联保持自然有界来防止有限时间奇点。四元数-复数公式表明，湍流代表四元数解析性的破坏同时保持几何稳定性，为理解真实流体为何表现出有限湍流行为而非数学奇点提供了严格的数学基础。我们证明对于任何光滑初始数据，三维不可压缩Navier-Stokes方程存在唯一全局光滑解，直接解决了克雷研究所的挑战。在大气边界层物理中的应用展示了该框架对环境建模、天气预报和气候建模的直接实践意义。

摘要

  • 原文标题：Recursive Difference Categories and Topos-Theoretic Universality
  • 中文标题：递归差分范畴与拓扑斯理论普适性
  • 发布日期：2025-05-28 23:18:04+00:00
  • 作者：Andreu Ballus Santacana
  • 分类：math.CT, 18F20, 18C10, 03G30, 03B45, 03G12, F.4.1; F.3.2; F.1.1
  • 原文链接：http://arxiv.org/abs/2505.22931v1

中文摘要：我们提出了一种彻底极简的范畴论基础，用于逻辑、语义和计算，其构建仅基于递归差异的单一生成公理。从空记忆M0出发，通过D的迭代标记扩展，我们构建自由范畴M及其层拓扑斯Sh(M)。我们证明： 模态完备性：Sh(M)上的Lawvere-Tierney拓扑纯粹通过自由幺半群D*的子幺半群分类所有标准模态逻辑（K、T、S4、S5）。 不动点表达性：无限分支上的内部μ演算完整实现了Janin-Walukiewicz定理。 ZFC与集合建模：Sh(M)通过常层嵌入Set，并通过递归下降内化ZFC模型。 图灵可编码性：有限自动机和图灵机层在句法层面产生，形成完全可机械化的内部语义。 内部元定理：通过完全下降和一阶上同调H1的消失，Godel完备性和Lowenheim-Skolem定理在内部成立。 我们进一步构造忠实几何嵌入： Set -> Sh(M) -> Eff，以及Sh(M) -> sSet， 连接可实现性和单纯形框架。与同伦类型论及经典位点理论模型不同，Sh(M)展现出完全的上同调平凡性、无挠子、以及所有局部数据的完全保守粘合。由此我们实现了Lawvere的愿景——从单一句法公理完全导出语义（模态、集合论、计算和元逻辑），在单一递归原则下统一逻辑、语义与计算。

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