WikiEdge:ArXiv-1904.12761

• 标题：The graphs behind Reuleaux polyhedra
• 中文标题：Reuleaux多面体背后的图形
• 发布日期：2019-04-29 15:06:13+00:00
• 作者：Luis Montejano, Eric Pauli, Miguel Raggi, Edgardo Roldán-Pensado
• 分类：cs.CG, math.CO
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1904.12761v1

摘要：本文研究了由Reuleaux多面体产生的图。这样的图必须是平面的，3连通的，且强自对偶的。我们研究了这些条件何时足够的问题。 如果$G$是具有同构$\tau : G \to G^*$的图（其中$G^*$是唯一的对偶图），度量映射是一个映射$\eta : V(G) \to \mathbb R^3$，使得$\eta(G)$的直径为1，对于每一对顶点$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$，我们就有dist$(\eta(u),\eta(v)) = 1$。如果$\eta$是单射，它被称为度量嵌入。注意，度量嵌入产生了一个Reuleaux多面体。 我们的贡献有两方面：首先，我们证明任何平面的，3连通的，强自对偶的图都有一个度量映射，通过证明直径图（其顶点是$V(G)$，其边是对$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$）的色数最多为4，这意味着存在一个度量映射到四面体。此外，我们使用Lov\'asz邻域复杂定理在代数拓扑中证明直径图的色数正好是4。 其次，我们开发了算法，使我们能够获得所有这样的图，顶点数最多为14。此外，我们为每一个这样的图数值构造度量嵌入。从定理和这个计算证据，我们推测每一个这样的图都可以作为一个Reuleaux多面体在$\mathbb R^3$中实现。 在之前的工作中，第一作者和最后一作者描述了一种从Reuleaux多面体构造常宽体的方法。因此，从本质上讲，我们也构造了数百个新的常宽体的例子。 这与V\'azsonyi的问题，以及Blaschke-Lebesgue的问题有关。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何确定哪些图是Reuleaux多面体背后的图？
• 什么样的条件是Reuleaux多面体背后的图所必须满足的？
• 如何证明任何平面图、3-连通、强自对偶图都有度量映射？
• 如何证明直径图的色数至多为4？
• 如何开发算法来获得所有这样的图，并数值构造度量嵌入？
• 每一个这样的图是否都可以在R3中实现为Reuleaux多面体？
• 如何从Reuleaux多面体构造出恒宽体？
• 如何解决Vázsonyi问题和Blaschke-Lebesgue问题？