WikiEdge:ArXiv-2409.13046
- 标题：High Dimensional Space Oddity
- 中文标题：高维空间奇特性
- 发布日期：2024-09-19 18:39:49+00:00
- 作者：Haim Bar, Vladimir Pozdnyakov
- 分类：math.PR, math.ST, stat.TH
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/2409.13046v1
摘要：在他1996年的论文中，Talagrand强调，对于独立随机变量的大数定律（LLN）可以被视为多维乘积空间的几何属性。这种现象被称为测度集中。为了说明几何和概率论之间的深刻联系，我们考虑了一个在多维欧氏空间中看似棘手的几何问题，并使用标准的概率工具，如大数定律和中心极限定理（CLT）来解决它。
章节摘要
- 引言：一个有趣的结果：论文引用了Henri Poincaré和Albert Einstein关于直觉的观点，讨论了直觉在科学发现中的作用，并指出在高维空间中直觉可能会失效。通过一个关于n维球体围绕立方体顶点排列的例子，说明了高维几何直觉的局限性。
- 相关问题：考虑了一个光源位于原点时，单位球体在-1, 1^n立方体顶点处对光线的阻挡情况，并提出了计算光线被阻挡的比例的问题。
- 一个球体的阴影：详细分析了一个半径为r的球体在顶点处形成的阴影区域的面积，并给出了计算公式。
- 一个更困难的问题：探讨了如何找到球体半径的序列{rn}，使得随着n趋向无穷大，被球体阻挡的光线比例趋近于一个固定值a。
- 随机线与立方体顶点的最近距离：利用概率论的方法，研究了随机线与立方体-1, 1^n顶点之间的距离分布。
- 测度集中：讨论了高维几何中的测度集中现象，并通过二进制编码消息的例子，解释了在高维空间中数据如何集中在特定区域。
- 讨论：论文讨论了高维数据的挑战和机遇，强调了概率模型在理解高维空间中数据集中现象中的作用，并指出独立随机数据在高维空间中高度集中的特性是一种优势。