WikiEdge:ArXiv-2304.10418

• 标题：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
• 中文标题：具有指数照明数的常宽凸体
• 发布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
• 分类：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3

摘要：我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常宽凸体，其照明数至少为$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一个问题。此外，我们证明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直径为$1$的有限集合，它们不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$个直径为$1$的球覆盖，这改进了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一个结果。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何证明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明数的常宽凸体？
• 如何改进 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的结果，证明有限直径集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 个直径为 1 的球所覆盖？
• 如何构造具有足够“分离”方向的点集 X，以保证直径 W(X) ≤ 2 cos α？
• 如何利用概率方法证明存在满足特定条件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每个点最多被 O(n log n) 个球 C(x, φ) 覆盖？