WikiEdge:ArXiv速遞/2024-09-09
ArXiv-2409.05791v1
- 標題：Uniform Approximation of Eigenproblems of a Large-Scale Parameter-Dependent Hermitian Matrix
- 中文標題：大規模參數依賴厄米矩陣特徵問題的統一近似
- 發布日期：2024-09-09T16:51:09+00:00
- 作者：Mattia Manucci, Emre Mengi, Nicola Guglielmi
- 分類：math.NA, cs.NA, 65F15, 65D15, 26E05, 90C05
- 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2409.05791v1
摘要：我們考慮在一個連續緊緻域上對一個大規模參數依賴的厄米特矩陣的最小特徵值進行近似。我們的方法基於通過將大矩陣投影到一個合適的小子空間來近似最小特徵值，這種做法在文獻中被廣泛採用。投影子空間是通過迭代構造的（以減少近似誤差），在參數值處添加參數依賴矩陣的特徵向量，其中代理誤差最大。代理誤差是近似值與Sirkovic和Kressner，SIAM J. Matrix Anal. Appl.，37(2)，2016中提出的最小特徵值下界之間的差距。與經典方法（如逐步約束法）不同，後者在離散有限集上最大化此類代理誤差，我們在所有可允許參數值的連續範圍內全局最大化代理誤差。我們特別關注下界，這使我們能夠在有限維和無限維設置中正式證明我們框架的全局收斂性。在第二部分中，我們關注於對一個大規模參數依賴矩陣的最小奇異值進行近似（如果它是非厄米特的），並提出另一種子空間框架來構造一個小的參數依賴非厄米特矩陣，其最小奇異值近似原始大規模最小奇異值。我們在合成示例以及來自參數化偏微分方程的實際示例上進行了數值實驗。數值實驗表明，所提出的技術能夠顯著減少大規模參數依賴矩陣的大小，同時確保最小特徵值/奇異值的近似誤差低於規定的容忍度。
ArXiv-2409.05857v1
- 標題：Finite Periodic Data Rigidity For Two-Dimensional Area-Preserving Anosov Diffeomorphisms
- 中文標題：二維保面積 Anosov 微分同胚的有限周期數據剛性
- 發布日期：2024-09-09T17:55:41+00:00
- 作者：Thomas Aloysius O'Hare
- 分類：math.DS
- 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2409.05857v1
摘要：讓$f,g$是$\mathbb{T}^2$上的$C^2$保持面積的Anosov微分同胚，它們通過一個同胚$h$（$hf=gh$）在拓撲上是共軛的。我們假設$f$和$g$的雅可比周期數據通過$h$在某個大周期$N\in\mathbb{N}$的所有點上是匹配的。我們證明$f$和$g$是「近似光滑共軛」的。也就是說，存在一個$C^{1+\alpha}$的微分同胚$\overline{h}_N$，使得$h$和$\overline{h}_N$在$N$上是$C^0$指數接近的，並且$f$和$f_N:=\overline{h}_N^{-1}g\overline{h}_N$在$N$上是$C^1$指數接近的。此外，收斂速率在不同的$f,g$之間在一個$C^2$有界的Anosov微分同胚集合中是均勻的。構造$\overline{h}_N$的主要思路是進行「加權的全局性」構造，而獲得我們估計的主要技術工具是加權離散軌道到SRB測度的Bowen均勻有效版本的分布定理。