WikiEdge:ArXiv-2402.04190
- 標題：Soft cells and the geometry of seashells
- 中文標題：軟細胞與海貝殼的幾何學
- 發佈日期：2024-02-06 17:48:02+00:00
- 作者：Gábor Domokos, Alain Goriely, Ákos G. Horváth, Krisztina Regős
- 分類：physics.app-ph, math.MG, 05B45 52C20 52C22
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2402.04190v1
摘要：幾何的一個核心問題是用簡單結構平鋪空間。經典的解決方案，如平面的三角形、正方形和六邊形，以及三維空間的立方體和其他多面體，都是由尖角和平面構建的。然而，自然界中的許多平鋪都以曲邊、非平面和少數（如果有的話）尖角的形狀為特徵。一個重要的問題就是將原型的尖角平鋪與較軟的自然形狀聯繫起來。在這裏，我們通過引入一種新的形狀類別——「軟細胞」，解決了這個問題，這種形狀最小化了尖角的數量，並以「軟平鋪」的方式填充空間。我們證明了無窮類的多面體平鋪可以平滑地變形為軟平鋪，並且我們構造了所有與二維和三維點陣相關的Dirichlet-Voronoi細胞的軟版本。值得注意的是，這些理想的軟形狀，源於幾何，廣泛存在於自然界，從細胞到貝殼。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何將傳統的具有尖銳角的幾何鋪砌與自然界中觀察到的邊緣和面都呈曲線形狀的柔軟鋪砌聯繫起來？
- 如何定義和構造一類新的鋪砌形狀——軟單元（soft cells），以最小化尖銳角的數量並作為軟鋪砌填充空間？
- 如何證明無限多的多面體鋪砌可以平滑地變形為軟鋪砌？
- 如何構建與點格點相關的所有二維和三維狄利克雷-沃羅諾伊單元（Dirichlet-Voronoi cells）的軟版本？
- 如何量化和最大化三維形狀的柔軟度，並探索其與物理實現的關係？
- 在自然界中，軟單元（soft cells）的幾何形態如何與生物結構的演化聯繫起來？
- 如何在藝術和建築中找到軟單元的實例，並理解其美學和實用性？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
空間填充模式
- 空間填充模式，即由不重疊的有限區域組成的模式，其歷史可以追溯到一萬多年前砌體牆的出現。然而，這類模式在自然界中更為古老。
- 作者提出了一種新的填充模式，稱為軟填充（soft tilings），它由高度彎曲的單元格組成，這些單元格最小化了尖角的數量。
幾何學中的軟填充與軟單元
- 幾何學中的傳統解決方案，如平面上的三角形、正方形和六邊形，以及三維空間中的立方體和其他多面體，都是由尖銳的角和平面構成的。
- 然而，自然界中的許多鑲嵌圖案具有彎曲的邊緣、非平面的面和很少的尖角，這引發了將典型的尖銳鑲嵌與更柔和的自然形狀聯繫起來的重要問題。
- 作者通過引入軟單元格的概念來解決這一問題，這些單元格通過最小化尖角的數量來填充空間，形成軟鑲嵌。
- 證明了一類無限的多面體鑲嵌可以平滑地變形為軟鑲嵌，並構建了與點格點相關的所有Dirichlet-Voronoi單元的軟版本。
- 這些理想的軟形狀在自然界中廣泛存在，從細胞到貝殼都有發現。