WikiEdge:ArXiv-2405.18501

• 標題：Small volume bodies of constant width
• 中文標題：常寬度小體積物體
• 發布日期：2024-05-28 18:14:00+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
• 分類：math.MG, 52A20, 52A40, 28A75, 49Q20
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2405.18501v1

摘要：對於每一個足夠大的$n$，我們明確構造了一個常寬為$2$的體，其體積小於$0.9^n \text{Vol}(\mathbb{B}^{n}$)，其中$\mathbb{B}^{n}$是$\mathbb{R}^{n}$中的單位球。這回答了O.~Schramm的一個問題。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何構造一個在 \( n \) 維歐幾里得空間 \( \mathbb{R}^n \) 中寬度恆定為 2 的凸體，其體積小於 \( 0.9n \) 倍的單位球體積？
• 能否證明存在一個正數 \( \epsilon > 0 \) 使得對於所有 \( n \geq 2 \)，常寬凸體的有效率 \( r_n \) 都小於 \( 1 - \epsilon \)？
• 能否通過顯式構造一個凸體 \( M \) 來證明 \( r_n < 0.9 \) 對於足夠大的 \( n \) 成立？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的研究：
   • 常寬體是一類特殊的凸體，其在任何方向上的投影長度都相等。這類幾何體在數學和工程學中有著廣泛的應用。
   • 常寬體的體積和有效半徑之間的關係是研究的重點之一，其中有效半徑定義為使得凸體的體積等於單位球體積的相應倍數的半徑。
2. Urysohn不等式的應用：
   • Urysohn不等式提供了常寬體有效半徑的一個上界，這對於理解常寬體的性質至關重要。
   • 文獻中提到了Schramm對於常寬體有效半徑的下界進行了研究，並提出了一個非平凡的下界。
3. Schramm問題的提出：
   • Schramm提出了一個問題，即是否存在一個正數ε，使得所有維度n的常寬體2的有效半徑都小於1-ε。
   • 這個問題對於理解常寬體在高維空間中的性質具有重要意義。
4. 本文的貢獻：
   • 本文通過構造一個具體的常寬體2，並證明其體積小於0.9n倍的單位球體積，從而回答了Schramm的問題。
   • 這一結果不僅解決了一個長期存在的問題，也為常寬體的體積和有效半徑之間的關係提供了新的見解。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了常寬體在數學幾何中的重要性，以及對於其體積和有效半徑之間關係的深入研究。