WikiEdge:ArXiv-2405.18501
- 標題：Small volume bodies of constant width
- 中文標題：常寬度小體積物體
- 發布日期：2024-05-28 18:14:00+00:00
- 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
- 分類：math.MG, 52A20, 52A40, 28A75, 49Q20
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2405.18501v1
摘要：對於每一個足夠大的$n$，我們明確構造了一個常寬為$2$的體，其體積小於$0.9^n \text{Vol}(\mathbb{B}^{n}$)，其中$\mathbb{B}^{n}$是$\mathbb{R}^{n}$中的單位球。這回答了O.~Schramm的一個問題。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何構造一個在 \( n \) 維歐幾里得空間 \( \mathbb{R}^n \) 中寬度恆定為 2 的凸體，其體積小於 \( 0.9n \) 倍的單位球體積？
- 能否證明存在一個正數 \( \epsilon > 0 \) 使得對於所有 \( n \geq 2 \)，常寬凸體的有效率 \( r_n \) 都小於 \( 1 - \epsilon \)？
- 能否通過顯式構造一個凸體 \( M \) 來證明 \( r_n < 0.9 \) 對於足夠大的 \( n \) 成立？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 常寬體的研究：
- Urysohn不等式的應用：
- Urysohn不等式提供了常寬體有效半徑的一個上界，這對於理解常寬體的性質至關重要。
- 文獻中提到了Schramm對於常寬體有效半徑的下界進行了研究，並提出了一個非平凡的下界。
- Schramm問題的提出：
- Schramm提出了一個問題，即是否存在一個正數ε，使得所有維度n的常寬體2的有效半徑都小於1-ε。
- 這個問題對於理解常寬體在高維空間中的性質具有重要意義。
- 本文的貢獻：
- 本文通過構造一個具體的常寬體2，並證明其體積小於0.9n倍的單位球體積，從而回答了Schramm的問題。
- 這一結果不僅解決了一個長期存在的問題，也為常寬體的體積和有效半徑之間的關係提供了新的見解。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了常寬體在數學幾何中的重要性，以及對於其體積和有效半徑之間關係的深入研究。
章節摘要
這篇論文是關於在高維空間中具有恆定寬度的凸體的研究，論文的主要內容可以概括如下：
- 引言：
- 定義了在n維歐幾里得空間中具有恆定寬度w的凸體K，即K在任何線上的投影長度都等於w。
- 引入了有效半徑r的概念，即Vol(K) = Vol(rBn)，其中Bn是單位球體。
- 引用了Urysohn不等式，並提到了Schramm關於有效半徑的下界問題。
- 預備知識和M的構造：
- 定義了單位球面Sn−1和正交象限Rn+。
- 構造了集合S，L，並定義了凸體M。
- 通過輔助聲明1證明了如果v屬於M，則(|v+|, |v−|)屬於集合A。
- 證明了M是具有恆定寬度2的凸體。
- 對Vol(M)的估計：
- 為了證明定理，估計了凸體M的體積。
- 通過分析M在每個坐標象限中的體積來估計M的總體積。
- 結論：
- 證明了對於足夠大的n，存在一個常數σ < 0.9，使得Vol(M) ≤ (n + 1)σnΩn。
- 通過選擇合適的α和β值，證明了有效半徑rn小於0.9。
- 提供了ε > 0的存在性，使得對於所有n ≥ 2，rn ≤ 1 − ε。