WikiEdge:ArXiv-2405.18501
- 标题：Small volume bodies of constant width
- 中文标题：常宽度小体积物体
- 发布日期：2024-05-28 18:14:00+00:00
- 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
- 分类：math.MG, 52A20, 52A40, 28A75, 49Q20
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/2405.18501v1
摘要：对于每一个足够大的$n$，我们明确构造了一个常宽为$2$的体，其体积小于$0.9^n \text{Vol}(\mathbb{B}^{n}$)，其中$\mathbb{B}^{n}$是$\mathbb{R}^{n}$中的单位球。这回答了O.~Schramm的一个问题。
问题与动机
作者的研究问题包括：
- 如何构造一个在 \( n \) 维欧几里得空间 \( \mathbb{R}^n \) 中宽度恒定为 2 的凸体，其体积小于 \( 0.9n \) 倍的单位球体积？
- 能否证明存在一个正数 \( \epsilon > 0 \) 使得对于所有 \( n \geq 2 \)，常宽凸体的有效率 \( r_n \) 都小于 \( 1 - \epsilon \)？
- 能否通过显式构造一个凸体 \( M \) 来证明 \( r_n < 0.9 \) 对于足够大的 \( n \) 成立？
背景介绍
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
- 常宽体的研究：
- Urysohn不等式的应用：
- Urysohn不等式提供了常宽体有效半径的一个上界，这对于理解常宽体的性质至关重要。
- 文献中提到了Schramm对于常宽体有效半径的下界进行了研究，并提出了一个非平凡的下界。
- Schramm问题的提出：
- Schramm提出了一个问题，即是否存在一个正数ε，使得所有维度n的常宽体2的有效半径都小于1-ε。
- 这个问题对于理解常宽体在高维空间中的性质具有重要意义。
- 本文的贡献：
- 本文通过构造一个具体的常宽体2，并证明其体积小于0.9n倍的单位球体积，从而回答了Schramm的问题。
- 这一结果不仅解决了一个长期存在的问题，也为常宽体的体积和有效半径之间的关系提供了新的见解。
综上所述，这篇文献的背景强调了常宽体在数学几何中的重要性，以及对于其体积和有效半径之间关系的深入研究。
章节摘要
这篇论文是关于在高维空间中具有恒定宽度的凸体的研究，论文的主要内容可以概括如下：
- 引言：
- 定义了在n维欧几里得空间中具有恒定宽度w的凸体K，即K在任何线上的投影长度都等于w。
- 引入了有效半径r的概念，即Vol(K) = Vol(rBn)，其中Bn是单位球体。
- 引用了Urysohn不等式，并提到了Schramm关于有效半径的下界问题。
- 预备知识和M的构造：
- 定义了单位球面Sn−1和正交象限Rn+。
- 构造了集合S，L，并定义了凸体M。
- 通过辅助声明1证明了如果v属于M，则(|v+|, |v−|)属于集合A。
- 证明了M是具有恒定宽度2的凸体。
- 对Vol(M)的估计：
- 为了证明定理，估计了凸体M的体积。
- 通过分析M在每个坐标象限中的体积来估计M的总体积。
- 结论：
- 证明了对于足够大的n，存在一个常数σ < 0.9，使得Vol(M) ≤ (n + 1)σnΩn。
- 通过选择合适的α和β值，证明了有效半径rn小于0.9。
- 提供了ε > 0的存在性，使得对于所有n ≥ 2，rn ≤ 1 − ε。
研究方法
这篇论文通过构造具有恒定宽度的凸体并计算其体积，探讨了在高维空间中，具有恒定宽度的凸体的体积可以远小于单位球体积的问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：
- 构造凸体M：
- 体积计算：
- 利用球体和凸体的交集体积公式，计算了凸体M在每个坐标象限中的体积。
- 通过积分和求和，得到了凸体M总体积的上界估计。
- 数学证明：
- 数值验证：
- 通过选择特定的参数值，验证了凸体M的体积上界小于0.9。
- 利用数值方法，计算了s的最小值，进一步支持了理论结果。
- 理论推导：
- 通过构造函数和不等式，推导出了体积上界的数学表达式。
- 利用数学归纳法和代数操作，证明了体积上界小于0.9。
这篇论文的方法论分析结果表明，对于足够大的n，可以构造出体积远小于单位球体积的具有恒定宽度的凸体，从而回答了Schramm提出的问题。