WikiEdge:ArXiv-2406.18428

• 標題：Small volume bodies of constant width with tetrahedral symmetries
• 中文標題：具有四面體對稱性的小體積常寬體
• 發布日期：2024-06-26 15:21:58+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
• 分類：math.MG, Primary 52A20, Secondary 52A15, 52A23, 52A40, 28A75, 49Q20
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2406.18428v1

摘要：對於所有的 $n\ge 2$，我們構造了一個在 $\mathbb{E}^n$ 中寬度為 $2$ 的體積小且具有規則 $n$-單形對稱性的體 $U_n$。$U_2$ 是 Reuleaux 三角形。據我們所知，$U_3$ 之前沒有被構造過，其體積小於其他具有四面體對稱性的三維等寬體的體積。雖然 $U_3$ 的體積略大於寬度為 $2$ 的 Meissner 體的體積，但它超過後者的體積不到 $0.137\%$。對於所有大的 $n$，$U_n$ 的體積小於半徑為 $0.891$ 的球的體積。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何構造具有四面體對稱性的常寬體，並且體積儘可能小？
• 在三維空間中，是否存在體積比已知的Meissner體更小的常寬體？
• 對於較大的n值，Un的體積是否小於半徑為0.891的球體的體積？
• Un是否是具有規則n-單形對稱性的常寬體中體積最小的？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的研究：
   • 在歐幾里得空間中，一個凸體如果其在任何線上的投影長度都相同，則稱之為具有常寬。
   • 常寬體的研究涉及了數學的多個領域，包括凸體幾何、優化和計算幾何。
   • 歷史上，布拉斯克和勒貝格證明了在二維空間中，最小的常寬體是勒洛三角形。
2. 三維空間中的最小體積問題：
   • 對於三維空間，梅斯納體被認為是具有最小體積的常寬體，但這個問題仍然是一個未解決的問題。
   • 文獻[17]展示了如何通過修改勒洛三角形的直接推廣來構造三維常寬體。
3. 高維空間中的常寬體：
   • 在高維空間中，尋找具有最小體積的常寬體是一個更具挑戰性的問題。
   • 作者們在文獻[2]中與納扎羅夫合作，構造了一組新的常寬體，其體積遠小於相同寬度的球體。
   • 本文提出了一個新的構造方法，用於生成具有四面體對稱性的常寬體，這些體在高維空間中具有潛在的最小體積。
4. 對稱性和優化問題：
   • 具有規則對稱性的凸體在數學和物理中都有重要的應用。
   • 本文探討了具有規則n-單形對稱性的常寬體，這對於理解高維空間中的幾何結構和優化問題具有重要意義。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在不同維度空間中尋找具有最小體積的常寬體的重要性，以及對稱性在這些研究中的作用。