WikiEdge:ArXiv-2406.18428
- 標題：Small volume bodies of constant width with tetrahedral symmetries
- 中文標題：具有四面體對稱性的小體積常寬體
- 發布日期：2024-06-26 15:21:58+00:00
- 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak, Danylo Radchenko
- 分類：math.MG, Primary 52A20, Secondary 52A15, 52A23, 52A40, 28A75, 49Q20
- 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2406.18428v1
摘要：對於所有的 $n\ge 2$，我們構造了一個在 $\mathbb{E}^n$ 中寬度為 $2$ 的體積小且具有規則 $n$-單形對稱性的體 $U_n$。$U_2$ 是 Reuleaux 三角形。據我們所知，$U_3$ 之前沒有被構造過，其體積小於其他具有四面體對稱性的三維等寬體的體積。雖然 $U_3$ 的體積略大於寬度為 $2$ 的 Meissner 體的體積，但它超過後者的體積不到 $0.137\%$。對於所有大的 $n$，$U_n$ 的體積小於半徑為 $0.891$ 的球的體積。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何構造具有四面體對稱性的常寬體，並且體積儘可能小？
- 在三維空間中，是否存在體積比已知的Meissner體更小的常寬體？
- 對於較大的n值，Un的體積是否小於半徑為0.891的球體的體積？
- Un是否是具有規則n-單形對稱性的常寬體中體積最小的？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 常寬體的研究：
- 三維空間中的最小體積問題：
- 對於三維空間，梅斯納體被認為是具有最小體積的常寬體，但這個問題仍然是一個未解決的問題。
- 文獻[17]展示了如何通過修改勒洛三角形的直接推廣來構造三維常寬體。
- 高維空間中的常寬體：
- 在高維空間中，尋找具有最小體積的常寬體是一個更具挑戰性的問題。
- 作者們在文獻[2]中與納扎羅夫合作，構造了一組新的常寬體，其體積遠小於相同寬度的球體。
- 本文提出了一個新的構造方法，用於生成具有四面體對稱性的常寬體，這些體在高維空間中具有潛在的最小體積。
- 對稱性和優化問題：
綜上所述，這篇文獻的背景強調了在不同維度空間中尋找具有最小體積的常寬體的重要性，以及對稱性在這些研究中的作用。
章節摘要
這篇論文是關於在高維空間中具有恆定寬度和四面體對稱性的小型體積體的研究，主要內容包括：
- 引言：
- 定義了在n維歐幾里得空間中的凸體，以及具有恆定寬度的凸體。
- 回顧了有關恆定寬度體的文獻，並提到了Urysohn不等式。
- 討論了在二維空間中具有最小面積的恆定寬度體是Reuleaux三角形。
- 提到了Blaschke-Lebesgue問題，即尋找固定恆定寬度的凸體的最小可能體積。
- 介紹了Meissner體，並提到了Bonnesen和Fenchel的猜想。
- 討論了具有四面體對稱性的三維恆定寬度體。
- 提出了一個問題，即是否存在具有四面體對稱性的恆定寬度凸體，其體積小於球體的體積。
- Un的體積：
- 討論了U2（Reuleaux三角形）和U3的體積。
- 提出了定理1，說明Un是具有四面體對稱性的恆定寬度2的凸體。
- 提出了定理2，給出了U3體積的計算公式。
- 比較了U3和Meissner體的體積，發現U3的體積略大，但具有四面體對稱性。
- 高維情況：
- 提出了定理3，對於足夠大的n，Un的體積小於半徑為0.891的球體的體積。
- 討論了如何通過估計Mn+1的體積來簡化高維情況的問題。