WikiEdge:ArXiv-0903.4284

• 标题：The Blaschke-Lebesgue problem for constant width bodies of revolution
• 中文标题：对于恒定宽度的旋转体的Blaschke-Lebesgue问题
• 发布日期：2009-03-25 10:00:08+00:00
• 作者：Henri Anciaux, Nikos Georgiou
• 分类：math.DG, 52A15
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/0903.4284v1

摘要：我们证明，在所有的常宽度旋转体中，体积与宽度立方的比值最小的是通过将Reuleaux三角形绕着对称轴旋转得到的常宽度体。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在三维欧几里得空间中，对所有具有恒定宽度的旋转体，找到体积与立方宽度比值最小的情况？
• Reuleaux三角形通过对称轴旋转得到的恒定宽度体是否是体积与立方宽度比值最小的恒定宽度旋转体？
• 在三维空间中，是否存在其他类型的恒定宽度体，其体积与立方宽度比值小于通过Reuleaux三角形旋转得到的恒定宽度体？
• 如何证明或反驳在三维空间中，具有最小体积与立方宽度比值的恒定宽度体不是旋转体？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体问题的历史与重要性：
   • 常宽体是指在所有方向上具有相同宽度的凸体。这类几何体在数学和工程学中具有重要的应用。
   • 历史上，Blaschke和Lebesgue的工作表明，在二维空间中，Reuleaux三角形是具有最小体积比的常宽体。
   • 确定任意维度中体积比最小化的常宽体是著名的Blaschke-Lebesgue问题，这个问题在三维空间中仍然开放。
2. 三维空间中的Blaschke-Lebesgue问题：
   • 三维空间中的Blaschke-Lebesgue问题比二维情况更为复杂，求解难度更大。
   • 该文献旨在证明在所有旋转对称的常宽体中，通过Reuleaux三角形旋转得到的常宽体具有最小的体积比。
3. 数学方法的应用：
   • 该研究使用了变分法和几何论证，提供了一种新的视角来解决三维空间中的Blaschke-Lebesgue问题。
   • 通过分析支持函数和凸体的几何性质，作者能够推导出新的结论。

综上所述，这篇文献的背景强调了在三维空间中解决Blaschke-Lebesgue问题的数学挑战，以及使用新的数学工具和方法来寻找解决方案的重要性。

章节摘要

这篇论文是关于固定宽度旋转体的Blaschke-Lebesgue问题的数学研究，主要内容包括：

1. 引言
   1. 介绍了凸体的宽度定义和固定宽度的性质，以及固定宽度体的体积与球体体积之比I(B)的同态不变性。
   2. 回顾了Blaschke和Lebesgue的工作，以及Reuleaux三角形在二维空间中最小化I(B)的事实。
   3. 提出了Blaschke-Lebesgue问题在三维空间中的挑战，并指出了本文的主要目标。

1. 主要定理
   1. 证明了在所有固定宽度的旋转体中，体积与立方宽度之比的最小值由Reuleaux三角形绕对称轴旋转得到的固定宽度体BReul实现。

1. 预备知识：固定宽度旋转体
   1. 描述了固定宽度旋转体的数学表示和参数化。
   2. 引入了支持函数的概念，并展示了如何用它来描述固定宽度体。
   3. 提出了固定宽度体的数学条件，并定义了相关的函数空间E。

1. Blaschke-Lebesgue问题
   1. 计算了固定宽度旋转体的体积，并用支持函数表示。
   2. 引入了加权Wirtinger不等式，并证明了其在固定宽度体中的应用。
   3. 通过不等式证明了体积比I(B)随宽度w的增加而增加。

1. 主要定理的证明
   1. 通过分析支持函数的二阶条件，证明了|h + h|必须为常数。
   2. 讨论了h + h的不连续性，并证明了Reuleaux三角形是唯一可能的最小化I(B)的旋转体。

1. 结论
   1. 总结了主要定理的意义，并指出了Reuleaux三角形在固定宽度体中的特殊地位。
   2. 提出了对Blaschke-Lebesgue问题在三维空间中的进一步研究方向。