WikiEdge:ArXiv-0903.4284

• 标题：The Blaschke-Lebesgue problem for constant width bodies of revolution
• 中文标题：对于恒定宽度的旋转体的Blaschke-Lebesgue问题
• 发布日期：2009-03-25 10:00:08+00:00
• 作者：Henri Anciaux, Nikos Georgiou
• 分类：math.DG, 52A15
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/0903.4284v1

摘要：我们证明，在所有的常宽度旋转体中，体积与宽度立方的比值最小的是通过将Reuleaux三角形绕着对称轴旋转得到的常宽度体。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何在三维欧几里得空间中，对所有具有恒定宽度的旋转体，找到体积与立方宽度比值最小的情况？
• Reuleaux三角形通过对称轴旋转得到的恒定宽度体是否是体积与立方宽度比值最小的恒定宽度旋转体？
• 在三维空间中，是否存在其他类型的恒定宽度体，其体积与立方宽度比值小于通过Reuleaux三角形旋转得到的恒定宽度体？
• 如何证明或反驳在三维空间中，具有最小体积与立方宽度比值的恒定宽度体不是旋转体？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. 常宽体问题的历史与重要性：
   • 常宽体是指在所有方向上具有相同宽度的凸体。这类几何体在数学和工程学中具有重要的应用。
   • 历史上，Blaschke和Lebesgue的工作表明，在二维空间中，Reuleaux三角形是具有最小体积比的常宽体。
   • 确定任意维度中体积比最小化的常宽体是著名的Blaschke-Lebesgue问题，这个问题在三维空间中仍然开放。
2. 三维空间中的Blaschke-Lebesgue问题：
   • 三维空间中的Blaschke-Lebesgue问题比二维情况更为复杂，求解难度更大。
   • 该文献旨在证明在所有旋转对称的常宽体中，通过Reuleaux三角形旋转得到的常宽体具有最小的体积比。
3. 数学方法的应用：
   • 该研究使用了变分法和几何论证，提供了一种新的视角来解决三维空间中的Blaschke-Lebesgue问题。
   • 通过分析支持函数和凸体的几何性质，作者能够推导出新的结论。

综上所述，这篇文献的背景强调了在三维空间中解决Blaschke-Lebesgue问题的数学挑战，以及使用新的数学工具和方法来寻找解决方案的重要性。

章节摘要

这篇论文是关于固定宽度旋转体的Blaschke-Lebesgue问题的数学研究，主要内容包括：

1. 引言
   1. 介绍了凸体的宽度定义和固定宽度的性质，以及固定宽度体的体积与球体体积之比I(B)的同态不变性。
   2. 回顾了Blaschke和Lebesgue的工作，以及Reuleaux三角形在二维空间中最小化I(B)的事实。
   3. 提出了Blaschke-Lebesgue问题在三维空间中的挑战，并指出了本文的主要目标。

1. 主要定理
   1. 证明了在所有固定宽度的旋转体中，体积与立方宽度之比的最小值由Reuleaux三角形绕对称轴旋转得到的固定宽度体BReul实现。

1. 预备知识：固定宽度旋转体
   1. 描述了固定宽度旋转体的数学表示和参数化。
   2. 引入了支持函数的概念，并展示了如何用它来描述固定宽度体。
   3. 提出了固定宽度体的数学条件，并定义了相关的函数空间E。

1. Blaschke-Lebesgue问题
   1. 计算了固定宽度旋转体的体积，并用支持函数表示。
   2. 引入了加权Wirtinger不等式，并证明了其在固定宽度体中的应用。
   3. 通过不等式证明了体积比I(B)随宽度w的增加而增加。

1. 主要定理的证明
   1. 通过分析支持函数的二阶条件，证明了|h + h|必须为常数。
   2. 讨论了h + h的不连续性，并证明了Reuleaux三角形是唯一可能的最小化I(B)的旋转体。

1. 结论
   1. 总结了主要定理的意义，并指出了Reuleaux三角形在固定宽度体中的特殊地位。
   2. 提出了对Blaschke-Lebesgue问题在三维空间中的进一步研究方向。

研究方法

这篇论文通过数学分析和变分法来解决Blaschke-Lebesgue问题。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 数学建模和分析：
   • 定义了常宽体在n维欧几里得空间中的宽度，并探讨了常宽体的性质。
   • 引入了支撑函数的概念，用以描述具有常宽的凸体。
   • 利用支撑函数的对称性，简化了问题的数学描述。
   • 通过积分和微分计算，建立了体积与支撑函数之间的关系。
2. 变分法的应用：
   • 使用变分法来寻找使体积与立方宽度比最小的凸体。
   • 利用二阶最小化条件（即稳定性）来证明映射|h + h|必须为常数。
   • 通过分析h + h的不连续性来确定I(h)的值。
   • 证明了除非h + h的不连续性数量最少，否则总能减小比率I，从而完成了证明。
3. 几何论证：
   • 通过几何论证，比较了任意常宽凸体的体积与具有相同宽度的旋转Reuleaux三角形的体积。
   • 利用Reuleaux三角形的几何特性，证明了其在二维情况下的最小化性质。
   • 通过修改论证，证明了Reuleaux三角形在平面上最小化I的事实。
4. 问题的特殊化：
   • 将问题特殊化为三维空间中的旋转体，简化了计算。
   • 通过分析旋转对称性，将问题转化为一维问题。
   • 利用了旋转对称性来简化问题的数学处理。

这篇论文的方法论分析结果表明，旋转Reuleaux三角形在三维空间中实现了体积与立方宽度比的最小化，解决了Blaschke-Lebesgue问题。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. 旋转体的等宽问题：在所有旋转体中，等宽体的体积与立方宽度比的最小值是由关于对称轴旋转的Reuleaux三角形得到的。
2. 最小化问题的解：证明了在三维欧几里得空间中，所有等宽旋转体中，体积与立方宽度比的最小值是由旋转的Reuleaux三角形得到的。
3. Blaschke-Lebesgue问题的非旋转体解：推论表明，Blaschke-Lebesgue问题的解不是一个旋转体。
4. 等宽旋转体的体积计算：计算了等宽旋转体的体积，并以函数形式表达了体积与宽度的关系。
5. 加权Wirtinger不等式：证明了一个加权版本的Wirtinger不等式，表明体积与宽度比的表达式中的某项是负的。
6. 最小化条件的几何解释：证明了当等宽曲线的曲率半径为常数时，对应的曲线部分是半径为2w的圆弧。
7. Reuleaux三角形的体积计算：计算了旋转Reuleaux三角形的体积，并得出了其体积与宽度比的具体数值。

这些结论为理解等宽旋转体的几何特性和体积最小化问题提供了重要的理论依据。