WikiEdge:ArXiv-1206.0892
- 標題：On the multiple Borsuk numbers of sets
- 中文標題：關於集合的多重Borsuk數
- 發佈日期：2012-06-05 12:02:00+00:00
- 作者：M. Hujter, Z. Lángi
- 分類：math.MG, math.CO, 52C17, 05C15, 52C10
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/1206.0892v2
摘要：Borsuk數是歐幾里得n空間中直徑d>0的集合S的最小值m，使得S可以被劃分為直徑小於d的m個集合。我們的目標是以以下方式推廣這個概念：這樣一個集合S的k倍Borsuk數是最小的m值，使得S有一個由直徑小於d的m個集合組成的k倍覆蓋。在本文中，我們描述了歐幾里得平面中集合的k倍Borsuk數，給出了中心對稱集、光滑體和常寬凸體的上下界，並且檢查了歐幾里得3空間中有限點集的k倍Borsuk數。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何定義並研究集合的k重Borsuk數？
- 在歐幾里得平面中，集合的k重Borsuk數有何特性？
- 對於具有特定對稱性的集合，如中心對稱集合、平滑體和常寬凸體，k重Borsuk數的界限是什麼？
- 在歐幾里得3維空間中，有限點集的k重Borsuk數如何表現？
- 對於具有大的k重Borsuk數的集合，以及具有非平凡對稱群的集合，其k重Borsuk數有何特點？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- Borsuk數的概念與歷史：
- Borsuk問題的推廣：
- 從20世紀30年代開始，Borsuk問題激發了許多研究者的興趣，並導致了多個特殊情況下的結果。
- 例如，在二維和三維空間中的集合、具有某些對稱性的集合或平滑體等。
- 此外，Borsuk問題也被推廣到了不同的度量空間，如有限維的賦范空間或使用Hamming距離的二進制碼。
- k重Borsuk數的引入：
- 作者提出了k重Borsuk數的概念，這是Borsuk數的一個自然推廣。
- 對於一個直徑為d的集合S，k重Borsuk數是最小的正整數m，使得存在一個k重覆蓋，由m個子集組成，每個子集的直徑都嚴格小於d。
- 這個新概念為Borsuk問題的研究提供了新的視角，並引發了一系列未解決的問題。
- 研究目標與方法：
- 本文的目標是研究k重Borsuk數在歐幾里得空間中集合的性質。
- 作者首先對平面集合的k重Borsuk數進行了表徵，並給出了平滑體、中心對稱集合和常寬凸體的k重Borsuk數的界限。
- 此外，作者還探討了三維空間中有限點集的k重Borsuk數，特別是那些具有大的k重Borsuk數的集合，以及那些具有非平凡對稱群的集合。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了Borsuk數在離散幾何學中的重要性，以及k重Borsuk數這一新概念如何為Borsuk問題的研究提供新的視角和挑戰。
章節摘要
這篇論文是關於歐幾里得空間中集合的多重Borsuk數的研究，其主要內容可以概括如下：
- 引言：介紹了Borsuk問題的歷史背景和研究進展，以及Borsuk數的一般化定義，即k重Borsuk數。討論了Borsuk數在離散幾何學中的重要性，並提出了本文的研究目標和方法。
- 多重Borsuk數的定義和初步觀察：
- 定義了k重Borsuk數，並討論了其與原Borsuk問題的關係。
- 提出了幾個關於k重Borsuk數的初步觀察和性質，包括子加性、下界估計和邊界關係。
- 歐幾里得平面上的集合：
- 利用Boltyanskii的結果，給出了平面集合的Borsuk數的刻畫。
- 證明了對於具有常寬凸體的平面集合，其k重Borsuk數與常寬凸體的k重Borsuk數相同。
- 討論了Reuleaux多邊形的k重Borsuk數。
- 中心對稱集合和光滑體：
- 討論了中心對稱集合和光滑體的k重Borsuk數，並給出了與歐幾里得n-球的k重Borsuk數的比較。
- 證明了對於這些集合，其k重Borsuk數不超過n-球的k重Borsuk數。
- 歐幾里得3空間中的有限點集：
- 研究了3維空間中有限點集的k重Borsuk數，並提出了尋找具有特定k重Borsuk數的點集的問題。
- 給出了具有大k重Borsuk數的點集的性質，以及具有非平凡對稱群的點集的k重Borsuk數。
- 提出了關於有限點集的k重Borsuk數的猜想和問題。
- 對稱有限點集的Borsuk數：
- 探討了具有非平凡對稱群的有限點集在3維空間中的Borsuk數。
- 證明了如果點集的對稱群包含正四面體的對稱群，則其直徑圖包含K4作為子圖。
- 提出了關於對稱點集的Borsuk數和直徑圖性質的問題。
- 額外的評論：
- 對於n維集合的Borsuk數，提出了關於其漸近行為的問題。
- 提出了關於k重Borsuk數和n維集合Borsuk數之間關係的猜想。