WikiEdge:ArXiv-1206.0892

• 标题：On the multiple Borsuk numbers of sets
• 中文标题：关于集合的多重Borsuk数
• 发布日期：2012-06-05 12:02:00+00:00
• 作者：M. Hujter, Z. Lángi
• 分类：math.MG, math.CO, 52C17, 05C15, 52C10
• 原文链接：http://arxiv.org/abs/1206.0892v2

摘要：Borsuk数是欧几里得n空间中直径d>0的集合S的最小值m，使得S可以被划分为直径小于d的m个集合。我们的目标是以以下方式推广这个概念：这样一个集合S的k倍Borsuk数是最小的m值，使得S有一个由直径小于d的m个集合组成的k倍覆盖。在本文中，我们描述了欧几里得平面中集合的k倍Borsuk数，给出了中心对称集、光滑体和常宽凸体的上下界，并且检查了欧几里得3空间中有限点集的k倍Borsuk数。

问题与动机

作者的研究问题包括：

• 如何定义并研究集合的k重Borsuk数？
• 在欧几里得平面中，集合的k重Borsuk数有何特性？
• 对于具有特定对称性的集合，如中心对称集合、平滑体和常宽凸体，k重Borsuk数的界限是什么？
• 在欧几里得3维空间中，有限点集的k重Borsuk数如何表现？
• 对于具有大的k重Borsuk数的集合，以及具有非平凡对称群的集合，其k重Borsuk数有何特点？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

1. Borsuk数的概念与历史：
   • Borsuk数是离散几何学中的一个基本概念，起源于Borsuk在1933年提出的一个猜想。
   • 该猜想认为，在欧几里得空间中，任意直径为d的集合可以被分割成n+1个子集，每个子集的直径都小于d。
   • 尽管这个猜想在1993年被Kahn和Kalai证明是错误的，但Borsuk数的研究仍然是离散几何学中的一个重要问题。
2. Borsuk问题的推广：
   • 从20世纪30年代开始，Borsuk问题激发了许多研究者的兴趣，并导致了多个特殊情况下的结果。
   • 例如，在二维和三维空间中的集合、具有某些对称性的集合或平滑体等。
   • 此外，Borsuk问题也被推广到了不同的度量空间，如有限维的赋范空间或使用Hamming距离的二进制码。
3. k重Borsuk数的引入：
   • 作者提出了k重Borsuk数的概念，这是Borsuk数的一个自然推广。
   • 对于一个直径为d的集合S，k重Borsuk数是最小的正整数m，使得存在一个k重覆盖，由m个子集组成，每个子集的直径都严格小于d。
   • 这个新概念为Borsuk问题的研究提供了新的视角，并引发了一系列未解决的问题。
4. 研究目标与方法：
   • 本文的目标是研究k重Borsuk数在欧几里得空间中集合的性质。
   • 作者首先对平面集合的k重Borsuk数进行了表征，并给出了平滑体、中心对称集合和常宽凸体的k重Borsuk数的界限。
   • 此外，作者还探讨了三维空间中有限点集的k重Borsuk数，特别是那些具有大的k重Borsuk数的集合，以及那些具有非平凡对称群的集合。

综上所述，这篇文献的背景强调了Borsuk数在离散几何学中的重要性，以及k重Borsuk数这一新概念如何为Borsuk问题的研究提供新的视角和挑战。

章节摘要

这篇论文是关于欧几里得空间中集合的多重Borsuk数的研究，其主要内容可以概括如下：

1. 引言：介绍了Borsuk问题的历史背景和研究进展，以及Borsuk数的一般化定义，即k重Borsuk数。讨论了Borsuk数在离散几何学中的重要性，并提出了本文的研究目标和方法。
2. 多重Borsuk数的定义和初步观察：
   • 定义了k重Borsuk数，并讨论了其与原Borsuk问题的关系。
   • 提出了几个关于k重Borsuk数的初步观察和性质，包括子加性、下界估计和边界关系。
3. 欧几里得平面上的集合：
   • 利用Boltyanskii的结果，给出了平面集合的Borsuk数的刻画。
   • 证明了对于具有常宽凸体的平面集合，其k重Borsuk数与常宽凸体的k重Borsuk数相同。
   • 讨论了Reuleaux多边形的k重Borsuk数。
4. 中心对称集合和光滑体：
   • 讨论了中心对称集合和光滑体的k重Borsuk数，并给出了与欧几里得n-球的k重Borsuk数的比较。
   • 证明了对于这些集合，其k重Borsuk数不超过n-球的k重Borsuk数。
5. 欧几里得3空间中的有限点集：
   • 研究了3维空间中有限点集的k重Borsuk数，并提出了寻找具有特定k重Borsuk数的点集的问题。
   • 给出了具有大k重Borsuk数的点集的性质，以及具有非平凡对称群的点集的k重Borsuk数。
   • 提出了关于有限点集的k重Borsuk数的猜想和问题。
6. 对称有限点集的Borsuk数：
   • 探讨了具有非平凡对称群的有限点集在3维空间中的Borsuk数。
   • 证明了如果点集的对称群包含正四面体的对称群，则其直径图包含K4作为子图。
   • 提出了关于对称点集的Borsuk数和直径图性质的问题。
7. 额外的评论：
   • 对于n维集合的Borsuk数，提出了关于其渐近行为的问题。
   • 提出了关于k重Borsuk数和n维集合Borsuk数之间关系的猜想。

研究方法

这篇论文通过综合分析图论、几何学和拓扑学的概念，探讨了Borsuk数的多个方面。以下是该研究方法论的主要组成部分：

1. 图论概念：
   • 利用图的染色理论来定义和分析k-重Borsuk数。
   • 通过图的独立数和图的色数来研究k-重Borsuk数的界限。
   • 利用鸽巢原理来证明k-重Borsuk数的某些性质。
2. 几何学方法：
   • 利用凸体和常宽体的性质来研究Borsuk数。
   • 通过欧几里得空间中的点集的直径来定义Borsuk数。
   • 使用凸包和直径图来分析点集的Borsuk数。
3. 拓扑学工具：
   • 利用Borsuk-Ulam定理来证明某些拓扑空间上的Borsuk数的性质。
   • 通过对称性和旋转群来分析具有特定对称性的点集的Borsuk数。
   • 使用Mycielski构造来构建具有特定Borsuk数性质的图。
4. 综合分析：
   • 将上述几何学和拓扑学的工具与图论相结合，来探讨Borsuk问题的多种推广。
   • 通过构造具体的例子和证明来研究有限点集在三维欧几里得空间中的k-重Borsuk数。
   • 讨论了Borsuk数在不同维度和对称性条件下的渐近行为。

这篇论文的方法论分析结果表明，Borsuk数的多个推广可以通过结合图论、几何学和拓扑学的方法来深入研究，为理解Borsuk问题及其在不同数学领域中的应用提供了新的视角。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

1. k-重Borsuk数的引入与定义：定义了k-重Borsuk数，即最小的正整数m，使得存在一个k-重覆盖，将集合S用直径严格小于d的m个子集覆盖。
2. 平面集的k-重Borsuk数的刻画：

 # * 对于直径为d的平面集S，如果a(S) = 3，则存在唯一的常宽凸体C包含S，并且对任何k，有ak(S) = ak(C)。
 # * 对于常宽凸体C，如果C是一个有2s + 1条边的Reuleaux多边形，则ak(C) = 2k + ⌈k/s⌉；否则ak(C) = 2k + 1。

1. 中心对称集和光滑体的k-重Borsuk数的界定：

 # * 如果S是光滑体或中心对称，则对任何k，有ak(S) ≤ ak(Bn)。
 # * 如果S是常宽凸体，则对任何k，有ak(S) ≥ ak(Bn)。
 # * 对任何k，有ak(Bn) = 2k + n − 1。

1. 三维空间中有限点集的k-重Borsuk数的探讨：

 # * 对于有限点集S ⊂ R3，如果g(GS) > 3，则存在某个k使得ak(S) < 4k。
 # * 对于有限点集S ⊂ R3，如果card S ≤ 7，则要么ak(S) < 4k对所有k > 1，要么GS包含K4作为子图。

1. 对称有限点集的Borsuk数的进一步分析：

 # * 如果S ⊂ R3且T4 ⊆ Sym(S)，则如果g(GS) = 3，GS包含K4作为子图。
 # * 如果S ⊂ R3且D2m+1 ⊆ Sym(S)，则如果a(S) = 4且g(GS) = 3，GS包含一个拓扑轮图W2m+2作为子图。

1. Borsuk数的渐近行为的讨论：

 # * 对于足够大的n，ak(n) ≥ k1.225√n。
 # * 提出了关于ak(n)和ka(n)之间关系的问题。