WikiEdge:ArXiv-1404.7019

• 標題：Typical curvature behaviour of bodies of constant width
• 中文標題：常寬體的典型曲率行為
• 發佈日期：2014-04-28 15:24:02+00:00
• 作者：Imre Barany, rolf Schneider
• 分類：math.MG, 52A20, 53A07
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/1404.7019v1

摘要：眾所周知，一個在Baire類別意義上典型的$n$維凸體表現出一種簡單但高度非直觀的曲率行為：在其邊界點的幾乎所有位置（在測度意義上），所有曲率都為零，但也存在一個密集且不可數的邊界點集，其中所有曲率都是無窮大。本文的目的是為給定常寬的典型凸體找到這種現象的對應物。這樣的體不能有零曲率。一個主要結果表明，對於一個典型的$n$維常寬為$1$的凸體（不失一般性），在其邊界點的幾乎所有位置（在測度意義上），所有曲率都等於$1$。（相比之下，注意到寬度為$1$的球的半徑為$1/2$，因此所有的曲率都等於$2$。）由於常寬性質對於Minkowski加法是線性的，證明需要藉助於線性曲率概念，這由切向曲率半徑提供。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何描述具有恆定寬度的典型凸體的典型曲率行為？
• 如何證明對於具有恆定寬度的典型凸體，幾乎所有的邊界點的曲率要麼全部為1，要麼至少有一個曲率為0？
• 如何證明在具有恆定寬度的凸體中，存在一個不可數的、密集的邊界點集合，其中所有曲率都為零？
• 如何將二維平面中關於常寬凸體的曲率行為擴展到更高維度？