WikiEdge:ArXiv-1404.7019
- 標題：Typical curvature behaviour of bodies of constant width
- 中文標題：常寬體的典型曲率行為
- 發布日期：2014-04-28 15:24:02+00:00
- 作者：Imre Barany, rolf Schneider
- 分類：math.MG, 52A20, 53A07
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/1404.7019v1
摘要：眾所周知，一個在Baire類別意義上典型的$n$維凸體表現出一種簡單但高度非直觀的曲率行為：在其邊界點的幾乎所有位置（在測度意義上），所有曲率都為零，但也存在一個密集且不可數的邊界點集，其中所有曲率都是無窮大。本文的目的是為給定常寬的典型凸體找到這種現象的對應物。這樣的體不能有零曲率。一個主要結果表明，對於一個典型的$n$維常寬為$1$的凸體（不失一般性），在其邊界點的幾乎所有位置（在測度意義上），所有曲率都等於$1$。（相比之下，注意到寬度為$1$的球的半徑為$1/2$，因此所有的曲率都等於$2$。）由於常寬性質對於Minkowski加法是線性的，證明需要藉助於線性曲率概念，這由切向曲率半徑提供。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何描述具有恆定寬度的典型凸體的典型曲率行為？
- 如何證明對於具有恆定寬度的典型凸體，幾乎所有的邊界點的曲率要麼全部為1，要麼至少有一個曲率為0？
- 如何證明在具有恆定寬度的凸體中，存在一個不可數的、密集的邊界點集合，其中所有曲率都為零？
- 如何將二維平面中關於常寬凸體的曲率行為擴展到更高維度？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 凸體的典型曲率行為：
- 在凸體的研究中，一個眾所周知的定理是 Alekandrov 提出的，它表明幾乎所有凸體的邊界點在（n-1）維 Hausdorff 測度意義上都是法線點。在這些點上，所有截面曲率都存在，並且滿足 Euler 和 Meusnier 定理。
- 從一般性的角度來看，一個典型的凸體（在 Baire 類別的意義上）是嚴格凸的並且平滑（其邊界是 C1 類的），但 Zamfirescu 證明了在其幾乎所有邊界點上曲率為零。
- 最近的觀察表明，一個典型凸體的邊界包含一個不可數的、密集的點集，其中所有曲率都是無限的，並且這些點集在單位球 Sn-1 中的球面像具有滿的 Hn-1 測度。
- 等寬體的有趣子類：
- 等寬體是凸體研究中一個引人入勝且被廣泛研究的子類。特別地，考慮常數寬度為 1 的等寬體。
- 一個凸體 K 具有常數寬度 1，如果 K 的任意兩個不同的平行支撐超平面之間的距離為 1，或者等價地，如果 K 與其反射圖像 -K 的 Minkowski 和是單位球。
- Aleksandrov 展示了如果 ̺ 是 K 在具有給定外法向量 u 的（唯一）邊界點處的主曲率半徑，則 0 ≤ ̺ ≤ 1。
- 類似於一般凸體的 Baire 類別型結果，可以預期對於一個典型的常數寬度 1 的凸體，曲率半徑傾向於取值 0 和 1。Zamfirescu 展示了在平面上，對於一個典型的常數寬度 1 的凸域，曲率半徑只取值 0 和 1。
- 高維空間中的推廣：
- 第一個定理可以看作是這個結果在更高維度上的推廣。
- 定理 1.1 表明，在 Rn 中具有常數寬度 1 的典型凸體 K 具有這樣的性質：對於 Hn-1-幾乎所有的 u ∈ Sn-1，K 在法向量 u 處的所有曲率半徑要麼等於 1，要麼至少有一個曲率半徑在 u 處等於 0。
- 定理 1.2 表明，在 Rn 中具有常數寬度 1 的典型凸體 K 具有這樣的性質：對於 Hn-1-幾乎所有的 x ∈ bd K，K 在 x 處的所有曲率半徑都等於 1。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了在凸體的典型曲率行為研究中，特別是在等寬體的曲率特性研究中，探索高維空間中凸體的曲率行為和性質的重要性和挑戰。
章節摘要
這篇論文研究了具有恆定寬度的典型凸體的典型曲率行為，主要內容包括：
- 引言：介紹了凸體的一般性質，特別是具有恆定寬度的凸體。凸體的恆定寬度定義為任意兩個不同平行支撐超平面之間的距離為1。論文的目標是探索具有恆定寬度的典型凸體的曲率行為。
- 預備知識：定義了凸體的基本術語和符號，例如凸體、支撐元素、法向量等，並介紹了凸體的支撐函數和常數寬度的定義。
- 切線曲率半徑：詳細探討了凸體的切線曲率半徑，這是研究凸體曲率的一種方法。介紹了如何通過凸體的支撐函數來定義和計算切線曲率半徑。
- 具有恆定寬度的凸體的逼近結果：提出了一個逼近定理，用於構造具有特定曲率屬性的凸體。該定理是證明主要結果的關鍵。
- 主要結果的證明：
- 證明了定理1.1：具有恆定寬度1的典型凸體K，在幾乎所有的法向量u下，所有曲率半徑要麼都等於1，要麼至少有一個曲率半徑等於0。
- 證明了定理1.2：具有恆定寬度1的典型凸體K，在幾乎所有的邊界點x處，所有曲率半徑都等於1。
- 討論了這些結果與一般凸體的曲率行為的對比。
- 結論：總結了論文的主要發現，即具有恆定寬度的凸體在大多數邊界點上的曲率半徑表現出特定的行為，這與一般凸體的曲率行為有顯著不同。