WikiEdge:ArXiv-1608.06354
- 标题：Meissner Polyhedra
- 中文标题：迈斯纳多面体
- 发布日期：2016-08-23 01:29:42+00:00
- 作者：Luis Montejano, Edgardo Roldán-Pensado
- 分类：math.MG
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/1608.06354v2
摘要：在本文中，我们提出了一种具体的方法来构造三维常宽体。它们是由自对偶图的特殊嵌入构造的。
问题与动机
作者的研究问题与动机包括：
- 如何在三维空间中构造具有恒定宽度的立体？
- 已知二维空间中存在多种构造恒定宽度曲线的方法，但高维类比的构造方法尚不明确，作者试图填补这一空白。
- 探索三维空间中是否存在具体的、有限的构造过程来生成具有恒定宽度的立体。
- 研究特殊的自对偶图嵌入如何用于构造三维恒定宽度立体。
- 探讨三维空间中Reuleaux多面体的性质，以及如何通过修改这些多面体的边来构造具有恒定宽度的立体。
- 验证通过修改Reuleaux多面体的边所得到的立体是否确实具有恒定的宽度。
- 研究Meissner立体的性质，以及它们在三维空间中恒定宽度立体中的位置。
- 探索三维恒定宽度立体的几何特性，以及它们在离散几何问题中的应用。
- 研究三维Reuleaux多面体的自对偶图的性质，以及如何通过这些图的嵌入来构造Meissner立体。
- 探索三维恒定宽度立体的体积最小化问题，以及Meissner立体在解决Blaschke-Lebesgue问题中的潜力。
背景介绍
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
- 常宽体和其性质的历史回顾：
- 高维常宽体的构造方法：
- 球面多面体的研究：
- 本文的主要目标是研究有限多个全等球体相交的几何特性。球面多面体是离散几何中几个重要问题的研究对象，例如Grübaum-Heppes-Straszewicz定理关于\( \mathbb{R}^3 \)中有限点集直径的最大数量，Kneser-Poulsen猜想，有限点集的Borsuk猜想的证明，以及三角化球面多面体的Cauchy刚性定理的类比。
- 球面多面体的边界点可以是奇异的或规则的，奇异点又可以细分为0-奇异点和1-奇异点。
- 球面多面体的面定义为\( S(x, h) \cap \Phi \)，其中\( x \in X \)。
- 一个三维球面多面体\( \Phi \)是标准的，如果任意两个面的交集要么是空的，要么是\( G_\Phi \)的一个顶点或一条边。
- 一个三维球面多面体的图\( G_\Phi \)是简单、平面和3-连通的，并且满足欧拉-泊松公式\( v - e + f = 2 \)。
- Reuleaux多面体的定义和性质：
- Reuleaux多面体定义为满足特定性质的凸体，例如存在一个集合\( X \subset \mathbb{R}^n \)使得\( \Phi = \bigcap_{x \in X} B(x, h) \)，\( \Phi \)是一个标准球面多面体，且\( \Phi \)边界的0-奇异点集合\( V(\Phi) \)是\( X \)。
- 在二维中，Reuleaux多面体正是Reuleaux多边形，而在更高维度中，Reuleaux多面体不是常宽体。
- 三维Reuleaux多面体将是构造三维常宽体的关键。
- 一个重要的性质是，对于\( X \)中的每一对点\( x, y \)，距离\( d(x, y) \leq h \)且当且仅当\( x \)在\( y \)的对偶面中时，\( d(x, y) = h \)。
综上所述，这篇文献的背景强调了常宽体的历史研究、高维常宽体的构造方法、球面多面体的几何特性，以及Reuleaux多面体的定义和性质，为进一步研究三维常宽体提供了理论基础和构造方法。