WikiEdge:ArXiv-1608.06354
- 標題：Meissner Polyhedra
- 中文標題：邁斯納多面體
- 發佈日期：2016-08-23 01:29:42+00:00
- 作者：Luis Montejano, Edgardo Roldán-Pensado
- 分類：math.MG
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/1608.06354v2
摘要：在本文中，我們提出了一種具體的方法來構造三維常寬體。它們是由自對偶圖的特殊嵌入構造的。
問題與動機
作者的研究問題與動機包括：
- 如何在三維空間中構造具有恆定寬度的立體？
- 已知二維空間中存在多種構造恆定寬度曲線的方法，但高維類比的構造方法尚不明確，作者試圖填補這一空白。
- 探索三維空間中是否存在具體的、有限的構造過程來生成具有恆定寬度的立體。
- 研究特殊的自對偶圖嵌入如何用於構造三維恆定寬度立體。
- 探討三維空間中Reuleaux多面體的性質，以及如何通過修改這些多面體的邊來構造具有恆定寬度的立體。
- 驗證通過修改Reuleaux多面體的邊所得到的立體是否確實具有恆定的寬度。
- 研究Meissner立體的性質，以及它們在三維空間中恆定寬度立體中的位置。
- 探索三維恆定寬度立體的幾何特性，以及它們在離散幾何問題中的應用。
- 研究三維Reuleaux多面體的自對偶圖的性質，以及如何通過這些圖的嵌入來構造Meissner立體。
- 探索三維恆定寬度立體的體積最小化問題，以及Meissner立體在解決Blaschke-Lebesgue問題中的潛力。
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 常寬體和其性質的歷史回顧：
- 高維常寬體的構造方法：
- 球面多面體的研究：
- 本文的主要目標是研究有限多個全等球體相交的幾何特性。球面多面體是離散幾何中幾個重要問題的研究對象，例如Grübaum-Heppes-Straszewicz定理關於\( \mathbb{R}^3 \)中有限點集直徑的最大數量，Kneser-Poulsen猜想，有限點集的Borsuk猜想的證明，以及三角化球面多面體的Cauchy剛性定理的類比。
- 球面多面體的邊界點可以是奇異的或規則的，奇異點又可以細分為0-奇異點和1-奇異點。
- 球面多面體的面定義為\( S(x, h) \cap \Phi \)，其中\( x \in X \)。
- 一個三維球面多面體\( \Phi \)是標準的，如果任意兩個面的交集要麼是空的，要麼是\( G_\Phi \)的一個頂點或一條邊。
- 一個三維球面多面體的圖\( G_\Phi \)是簡單、平面和3-連通的，並且滿足歐拉-泊松公式\( v - e + f = 2 \)。
- Reuleaux多面體的定義和性質：
- Reuleaux多面體定義為滿足特定性質的凸體，例如存在一個集合\( X \subset \mathbb{R}^n \)使得\( \Phi = \bigcap_{x \in X} B(x, h) \)，\( \Phi \)是一個標準球面多面體，且\( \Phi \)邊界的0-奇異點集合\( V(\Phi) \)是\( X \)。
- 在二維中，Reuleaux多面體正是Reuleaux多邊形，而在更高維度中，Reuleaux多面體不是常寬體。
- 三維Reuleaux多面體將是構造三維常寬體的關鍵。
- 一個重要的性質是，對於\( X \)中的每一對點\( x, y \)，距離\( d(x, y) \leq h \)且當且僅當\( x \)在\( y \)的對偶面中時，\( d(x, y) = h \)。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了常寬體的歷史研究、高維常寬體的構造方法、球面多面體的幾何特性，以及Reuleaux多面體的定義和性質，為進一步研究三維常寬體提供了理論基礎和構造方法。