WikiEdge:ArXiv-1801.01161

• 標題：Spherical bodies of constant width
• 中文標題：常寬度的球形體
• 發布日期：2018-01-03 20:44:24+00:00
• 作者：Marek Lassak, Michał Musielak
• 分類：math.MG, 52A55
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/1801.01161v1

摘要：一個 $d$ 維球體 $S^d$ 的兩個不同且非對立的半球 $G$ 和 $H$ 的交集 $L$ 被稱為弓形。我們將 $L$ 的厚度定義為界定 $L$ 的 $(d-1)$ 維半球的中心的距離。對於支持一個球形凸體 $C \subset S^d$ 的半球 $G$，我們定義 ${\rm width}_G(C)$ 為包含 $C$ 的形式為 $G \cap H$ 的最窄弓形或弓形的厚度。如果對於每個支持 $C$ 的半球 $G$，${\rm width}_G(C) =w$，我們就說 $C$ 是一個常寬度為 $w$ 的體。我們展示了這些體的屬性。特別地，我們證明了任何在 $S^d$ 上的常寬度為 $w$ 的球形體 $C$ 的直徑是 $w$，並且如果 $w < \frac{\pi}{2}$，那麼 $C$ 是嚴格凸的。此外，我們正在檢查常寬度和常直徑的球形體何時重合。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何定義和理解在\[ S^d \]上的常寬球體？
• 如何確定一個球體是否具有常寬，並且其常寬是多少？
• 常寬球體的直徑與其常寬之間有何關係？
• 常寬球體是否一定是嚴格凸的？
• 常寬球體和常直徑球體之間有何聯繫？
• 在\[ S^d \]上，常寬球體和常直徑球體是否等價？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 球面幾何與凸體的性質：
   • 球面幾何是研究球面上點、線、面之間關係的數學分支，它在數學、物理和工程領域都有廣泛的應用。
   • 球面凸體作為球面幾何中的重要概念，其性質的研究有助於理解球面上形狀和結構的複雜性。
2. 常寬體的定義與研究：
   • 常寬體是指在球面上具有恆定厚度的凸體，這類幾何體的研究有助於深入理解球面凸體的幾何特性。
   • 常寬體的研究不僅涉及數學理論，還與實際應用相關，例如在設計具有特定接觸特性的機械部件時可能會用到。
3. 球面凸體的直徑與寬度的關係：
   • 球面凸體的直徑和寬度是衡量其形狀的重要參數，研究這兩者之間的關係有助於揭示球面凸體的內在性質。
   • 直徑和寬度的關係在球面幾何中可能與歐幾里得空間中的情況有所不同，因此需要特別的研究。
4. 球面常寬體與常直徑體的等價性問題：
   • 探討球面常寬體是否必然是常直徑體，以及這兩者之間的轉換關係，對於完善球面凸體理論具有重要意義。
   • 這一問題的研究可能涉及到球面幾何中更深層次的性質，如球面凸體的支撐性質和邊界行為。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了球面幾何中常寬體和常直徑體的研究重要性，以及這些概念在理論發展和實際應用中的潛在價值。

章節摘要

這篇論文是關於常寬球體的研究，論文的主要內容可以概括如下：

1. 引言
   1. 定義了球體的月牙形（lune）以及球體上的凸體概念，介紹了球體的寬度定義，並提出了研究的主要問題。

1. 球面凸體的一些引理
   1. 引理1

• 描述了閉集在球面凸包中的性質。

1. 1. 引理2

• 討論了球面凸體與支持它的半球體之間的關係。

1. 1. 引理3

• 描述了在特定條件下，球面上的點如何成為月牙形的角點。

1. 1. 引理4

• 討論了球面上兩點確定的弧上點的凸包性質。

1. 1. 引理5

• 證明了球面凸體的每個點都可以由最多d+1個極點的凸包來確定。

1. 1. 引理6

• 討論了具有大於π/2的常寬的球面凸體的性質。

1. 常寬球體
   1. 定義了球面凸體的常寬，並討論了其基本性質。
   2. 通過構造性的例子，展示了在三維球面上的常寬凸體。

1. 常寬球體的直徑
   1. 定理1

• 證明了常寬球體在任意邊界點處可以內切唯一的球體。

1. 1. 定理2

• 證明了小於π/2的常寬球面凸體是嚴格凸的。

1. 1. 定理3

• 證明了對於任意常寬球體和其邊界上的點，都存在一個包含該球體的月牙形，其厚度等於球體的常寬。

1. 1. 定理4

• 證明了常寬球體的直徑等於其常寬。

1. 常寬與常直徑
   1. 定理5

• 證明了常寬球面凸體具有常直徑，且如果直徑大於等於π/2，則也是常寬的。

1. 1. 提出了一個開放性問題

• 是否所有直徑小於π/2的球面凸體都是常寬凸體。