WikiEdge:ArXiv-1904.12761
- 標題：The graphs behind Reuleaux polyhedra
- 中文標題：Reuleaux多面體背後的圖形
- 發布日期：2019-04-29 15:06:13+00:00
- 作者：Luis Montejano, Eric Pauli, Miguel Raggi, Edgardo Roldán-Pensado
- 分類：cs.CG, math.CO
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/1904.12761v1
摘要：本文研究了由Reuleaux多面體產生的圖。這樣的圖必須是平面的，3連通的，且強自對偶的。我們研究了這些條件何時足夠的問題。 如果$G$是具有同構$\tau : G \to G^*$的圖（其中$G^*$是唯一的對偶圖），度量映射是一個映射$\eta : V(G) \to \mathbb R^3$，使得$\eta(G)$的直徑為1，對於每一對頂點$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$，我們就有dist$(\eta(u),\eta(v)) = 1$。如果$\eta$是單射，它被稱為度量嵌入。注意，度量嵌入產生了一個Reuleaux多面體。 我們的貢獻有兩方面：首先，我們證明任何平面的，3連通的，強自對偶的圖都有一個度量映射，通過證明直徑圖（其頂點是$V(G)$，其邊是對$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$）的色數最多為4，這意味著存在一個度量映射到四面體。此外，我們使用Lov\'asz鄰域複雜定理在代數拓撲中證明直徑圖的色數正好是4。 其次，我們開發了算法，使我們能夠獲得所有這樣的圖，頂點數最多為14。此外，我們為每一個這樣的圖數值構造度量嵌入。從定理和這個計算證據，我們推測每一個這樣的圖都可以作為一個Reuleaux多面體在$\mathbb R^3$中實現。 在之前的工作中，第一作者和最後一作者描述了一種從Reuleaux多面體構造常寬體的方法。因此，從本質上講，我們也構造了數百個新的常寬體的例子。 這與V\'azsonyi的問題，以及Blaschke-Lebesgue的問題有關。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何確定哪些圖是Reuleaux多面體背後的圖？
- 什麼樣的條件是Reuleaux多面體背後的圖所必須滿足的？
- 如何證明任何平面圖、3-連通、強自對偶圖都有度量映射？
- 如何證明直徑圖的色數至多為4？
- 如何開發算法來獲得所有這樣的圖，並數值構造度量嵌入？
- 每一個這樣的圖是否都可以在R3中實現為Reuleaux多面體？
- 如何從Reuleaux多面體構造出恆寬體？
- 如何解決Vázsonyi問題和Blaschke-Lebesgue問題？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- Reuleaux多面體的圖論基礎：
- 圖的自對偶性和度量嵌入：
- Reuleaux多面體的構造與分類：
- 構造Reuleaux多面體的一種方法是從一個滿足特定條件的自對偶圖出發，通過度量嵌入來實現。
- 對這些圖進行分類，並探索它們是否可以實現為Reuleaux多面體，是本文的主要研究目標之一。
- 與Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue問題的關聯：
- Vázsonyi問題涉及到在三維空間中尋找具有特定直徑性質的點集，而Blaschke-Lebesgue問題則關注在常寬凸體類中最小化體積。
- Reuleaux多面體與這些問題有著密切的聯繫，因為它們提供了一種構造具有特定幾何性質的凸體的方法。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了Reuleaux多面體背後的圖論結構的重要性，以及如何通過圖的自對偶性和度量嵌入來構造和分類這些多面體。同時，這些研究也與解決Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue問題有著直接的聯繫。