WikiEdge:ArXiv-1904.12761

• 標題：The graphs behind Reuleaux polyhedra
• 中文標題：Reuleaux多面體背後的圖形
• 發布日期：2019-04-29 15:06:13+00:00
• 作者：Luis Montejano, Eric Pauli, Miguel Raggi, Edgardo Roldán-Pensado
• 分類：cs.CG, math.CO
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/1904.12761v1

摘要：本文研究了由Reuleaux多面體產生的圖。這樣的圖必須是平面的，3連通的，且強自對偶的。我們研究了這些條件何時足夠的問題。 如果$G$是具有同構$\tau : G \to G^*$的圖（其中$G^*$是唯一的對偶圖），度量映射是一個映射$\eta : V(G) \to \mathbb R^3$，使得$\eta(G)$的直徑為1，對於每一對頂點$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$，我們就有dist$(\eta(u),\eta(v)) = 1$。如果$\eta$是單射，它被稱為度量嵌入。注意，度量嵌入產生了一個Reuleaux多面體。 我們的貢獻有兩方面：首先，我們證明任何平面的，3連通的，強自對偶的圖都有一個度量映射，通過證明直徑圖（其頂點是$V(G)$，其邊是對$(u,v)$，只要$u\in \tau(v)$）的色數最多為4，這意味着存在一個度量映射到四面體。此外，我們使用Lov\'asz鄰域複雜定理在代數拓撲中證明直徑圖的色數正好是4。 其次，我們開發了算法，使我們能夠獲得所有這樣的圖，頂點數最多為14。此外，我們為每一個這樣的圖數值構造度量嵌入。從定理和這個計算證據，我們推測每一個這樣的圖都可以作為一個Reuleaux多面體在$\mathbb R^3$中實現。 在之前的工作中，第一作者和最後一作者描述了一種從Reuleaux多面體構造常寬體的方法。因此，從本質上講，我們也構造了數百個新的常寬體的例子。 這與V\'azsonyi的問題，以及Blaschke-Lebesgue的問題有關。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何確定哪些圖是Reuleaux多面體背後的圖？
• 什麼樣的條件是Reuleaux多面體背後的圖所必須滿足的？
• 如何證明任何平面圖、3-連通、強自對偶圖都有度量映射？
• 如何證明直徑圖的色數至多為4？
• 如何開發算法來獲得所有這樣的圖，並數值構造度量嵌入？
• 每一個這樣的圖是否都可以在R3中實現為Reuleaux多面體？
• 如何從Reuleaux多面體構造出恆寬體？
• 如何解決Vázsonyi問題和Blaschke-Lebesgue問題？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. Reuleaux多面體的圖論基礎：
   • Reuleaux多面體是一類特殊的幾何形狀，由一系列半徑為1的球體在三維空間中相交形成。這類多面體在凸幾何和離散幾何中具有重要性。
   • 研究Reuleaux多面體背後的圖論結構，特別是那些滿足平面性、3-連通性和強自對偶性的圖，對於理解這類多面體的性質至關重要。
2. 圖的自對偶性和度量嵌入：
   • 自對偶圖是一類特殊的圖，它們可以通過一個稱為對偶的映射與自身形成一一對應關係。這種映射在圖論中有着廣泛的應用。
   • 度量嵌入是將圖的頂點映射到三維空間中，使得滿足特定距離條件的映射。這種嵌入可以用來構造Reuleaux多面體。
3. Reuleaux多面體的構造與分類：
   • 構造Reuleaux多面體的一種方法是從一個滿足特定條件的自對偶圖出發，通過度量嵌入來實現。
   • 對這些圖進行分類，並探索它們是否可以實現為Reuleaux多面體，是本文的主要研究目標之一。
4. 與Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue問題的關聯：
   • Vázsonyi問題涉及到在三維空間中尋找具有特定直徑性質的點集，而Blaschke-Lebesgue問題則關注在常寬凸體類中最小化體積。
   • Reuleaux多面體與這些問題有着密切的聯繫，因為它們提供了一種構造具有特定幾何性質的凸體的方法。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了Reuleaux多面體背後的圖論結構的重要性，以及如何通過圖的自對偶性和度量嵌入來構造和分類這些多面體。同時，這些研究也與解決Vázsonyi和Blaschke-Lebesgue問題有着直接的聯繫。

章節摘要

這篇論文是關於Reuleaux多面體背後的圖的研究，論文的主要內容可以概括如下：

1. 引言
   1. Reuleaux多邊形和多面體的定義：Reuleaux多邊形是半徑為r的圓的交集，其頂點是這些圓的中心。Reuleaux多面體是三維空間中半徑為1的球體的交集，其邊界上的角點與球體中心重合。
   2. 研究動機：探討了Reuleaux多面體在凸幾何和離散幾何中的重要性，以及它們與常寬體的關係。

1. Reuleaux多面體背後的圖
   1. 球體多面體的定義：球體多面體是三維空間中半徑為1的球體的交集。
   2. Reuleaux多面體的性質：討論了Reuleaux多面體的邊界結構，以及如何將其表示為嵌入在邊界中的圖。

1. 反演自對偶圖
   1. 自對偶圖的定義：介紹了自對偶圖的概念，以及如何構建自對偶圖的對偶圖。
   2. 強反演自對偶圖的性質：討論了強反演自對偶圖必須滿足的兩個性質。

1. 度量嵌入
   1. 度量映射的定義：定義了強反演自對偶圖的度量映射，即滿足特定條件的映射。
   2. 度量嵌入的存在性：提出了一個猜想，即每個強反演自對偶圖都有一個度量嵌入，並給出了支持該猜想的定理。

1. 移除-收縮操作和D(M)的色數
   1. 移除-收縮操作的定義：介紹了一種操作，通過收縮圖的邊並刪除某些邊來簡化圖。
   2. D(M)的色數：證明了D(M)的色數恰好為4，這意味着存在一個度量映射到正四面體的頂點。

1. 尋找強反演自對偶圖及其度量嵌入
   1. 算法描述：描述了用於從所有強反演自對偶圖中構建Reuleaux多面體的計算算法。
   2. 實驗結果：提供了計算證據支持每個強反演自對偶圖都可以實現為Reuleaux多面體的猜想。

1. 結論
   1. 研究貢獻：總結了論文的主要貢獻，包括證明了任何平面3-連通強自對偶圖都有一個度量映射，以及開發了用於找到這些圖的算法。
   2. 未來工作：提出了未來的研究方向，包括進一步探索Reuleaux多面體的性質和應用。