WikiEdge:ArXiv-1905.09098

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  • 标题：Constant diameter and constant width of spherical convex bodies
  • 中文标题：球形凸体的常数直径和常数宽度
  • 发布日期：2019-05-22 12:22:23+00:00
  • 作者：Huhe Han, Denghui Wu
  • 分类：math.MG
  • 原文链接：http://arxiv.org/abs/1905.09098v2

摘要：在本文中，我们证明了一个球形凸体$C$的直径为常数$\tau$当且仅当$C$的宽度为常数$\tau$，其中$0<\tau<\pi$。此外，还给出了一些关于Wulff形状的应用。

问题与动机

作者的研究问题包括：

  • 如何证明在球面上的凸体具有恒定直径当且仅当它具有恒定宽度？
  • 在球面上的凸体具有恒定直径和恒定宽度的性质在何种条件下等价？
  • 球面上的凸体的直径和宽度的恒定性是否与Wulff形状有关联？
  • 如何将球面上的凸体的直径和宽度的性质应用于Wulff形状？

背景介绍

这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：

  1. 球面凸体的常直径与常宽度性质：
    • 在数学领域，尤其是凸体几何学中，球面凸体的常直径和常宽度性质是重要的研究对象。常直径和常宽度的概念在描述凸体的几何特性时非常关键。
    • 常直径和常宽度的性质在不同的空间中可能有所不同，特别是在单位球面$S^n$中，这些性质的等价性是一个值得探讨的问题。
    • 作者在这篇论文中探讨了在单位球面$S^n$中，球面凸体的常直径和常宽度性质是否等价，即如果一个球面凸体具有常直径$\tau$，那么它是否也具有常宽度$\tau$。
  2. Wulff形状的应用：
    • Wulff形状是一类特殊的凸体，它们在材料科学、物理学和数学中有着广泛的应用，特别是在晶体生长和相变理论中。
    • 作者进一步探讨了球面凸体的常直径和常宽度性质与Wulff形状之间的关系，以及这些性质在Wulff形状中的应用。
    • 通过研究Wulff形状的球面版本，作者提供了关于这些形状的直径和宽度性质的新见解。

综上所述，这篇文献的背景强调了球面凸体的常直径和常宽度性质在数学和应用科学中的重要性，以及这些性质在Wulff形状研究中的应用潜力。

章节摘要

这篇论文是关于球面凸体的常直径和常宽度的研究，论文的主要内容可以概括如下：

  1. 引言：介绍了在欧几里得空间中常直径与常宽度凸体的性质，并提出了在单位球面中这一性质是否成立的问题。定义了球面凸体、球面距离、球面极体等概念，并介绍了球面凸包的定义。
  2. 定理1的证明：
    • 证明了如果球面凸体C的直径为常数τ，则其宽度也为常数τ。
    • 利用了支撑球面和球面极体的性质，证明了常宽度球面凸体的直径也为常数。
    • 引入了球面凸体的支撑球面和球面极体的概念，并证明了相关引理。
  3. 应用到Wulff形状：
    • 介绍了Wulff形状的定义和性质，以及与球面凸体的关系。
    • 讨论了Wulff形状的对偶形状，并证明了与球面极体的关系。
    • 提出了球面Wulff形状的常宽度与球面凸体的常直径之间的关系。
    • 证明了如果Wulff形状是自对偶的，则其球面Wulff形状的直径为π/2。
  4. 致谢：感谢陕西省自然科学基金和西北农林科技大学科研启动基金的支持。

研究方法

这篇论文通过数学证明和几何分析，探讨了球面凸体的常直径和常宽度性质。以下是该研究方法论的主要组成部分：

  1. 数学证明：
    • 利用球面凸体的定义和性质，证明了球面凸体的常直径性质等价于其常宽度性质。
    • 通过构造球面凸体的极体，并分析其支撑超球的性质，证明了定理1。
    • 利用球面凸体的极体的性质，证明了球面凸体与其极体的常宽度性质之间的关系。
  2. 几何分析：
    • 分析了球面凸体的支撑超球和球面极体的几何关系，以及这些关系如何影响球面凸体的直径和宽度。
    • 探讨了球面凸体的直径和宽度的几何意义，以及这些几何量如何反映球面凸体的形状和结构。
    • 通过球面凸体的支撑超球和球面极体的几何构造，推导出球面凸体的直径和宽度的等式关系。
  3. 应用分析：
    • 将球面凸体的常直径和常宽度性质应用于Wulff形状的研究，探讨了这些性质在Wulff形状中的体现。
    • 分析了Wulff形状的自对偶性质与其球面凸体的常直径和常宽度性质之间的关系。
    • 利用球面凸体的常直径和常宽度性质，推导出Wulff形状的极体和球面极体的直径和宽度的等式关系。

这篇论文的方法论分析结果表明，球面凸体的常直径性质与其常宽度性质等价，并且这些性质在Wulff形状的研究中有重要应用。

研究结论

根据提供的文献内容，这篇论文的主要结论可以概括如下：

  1. 球面凸体的直径与宽度的关系：对于任意的 \(0 < \tau < \pi\)，球面凸体 \(C\) 在 \(S^n\) 中是常直径 \(\tau\) 当且仅当它是常宽度 \(\tau\)。
  2. 球面凸体的极体性质：
    • 常宽度与极体常宽度的关系：如果球面凸体 \(C\) 是常宽度 \(\tau\)，则其极体 \(C^\circ\) 是常宽度 \(\pi - \tau\)。
    • 常直径与极体常直径的关系：如果球面凸体 \(C\) 是常直径 \(\tau\)，则其极体 \(C^\circ\) 是常直径 \(\pi - \tau\)。
  3. Wulff形状的应用：
    • Wulff形状与其对偶形状的关系：如果Wulff形状 \(W_\gamma\) 的球面Wulff形状是常宽度，则 \(W_\gamma\) 与其对偶Wulff形状 \(DW_\gamma\) 满足特定的直径和宽度关系。
    • 自对偶Wulff形状的判定：Wulff形状 \(W_\gamma\) 是自对偶的当且仅当其球面Wulff形状是常直径 \(\pi/2\) 或常宽度 \(\pi/2\)。

这些结论为理解球面凸体的几何性质以及Wulff形状在材料科学中的应用提供了重要的理论基础。

术语表

```wikitext 这篇文章的术语表如下：

  • 球形凸体（Spherical convex body）：在单位球面\( S^n \)中，如果集合\( K \)是闭的、球形凸的且相对于\( S^n \)有非空内部，则称\( K \)为球形凸体。
  • 直径（Diameter）：凸体\( K \)的直径定义为\( \max\{|PQ| : P, Q \in K\} \)。
  • 常宽凸体（Constant width body）：如果凸体\( K \)相对于任何支持半球体的宽度都相等，则称\( K \)为常宽凸体。
  • 常径凸体（Constant diameter body）：如果凸体\( K \)的直径为\( \tau \)，并且对于\( K \)的边界上的每一个点\( P \)，都存在\( K \)中的一个点\( Q \)使得\( |PQ| = \tau \)，则称\( K \)为常径凸体。
  • 极体（Polar body）：对于\( S^n \)中的任意非空闭半球体子集\( W \)，\( W \)的球极集记为\( W^\circ \)。
  • 支持半球体（Supporting hemisphere）：如果半球体\( S^+_Q \)包含凸体\( K \)且\( P \in \partial K \cap S^+_Q \)，则称\( S^+_Q \)在\( P \)处支撑\( K \)。
  • 光滑凸体（Smooth body）：如果对于\( K \)的边界上的每一个点\( P \)，都存在唯一的半球体支撑\( K \)，则称\( K \)为光滑凸体。
  • 月牙（Lune）：如果\( S^+_P \)和\( S^+_Q \)是\( S^n \)中不同且不相对的半球体，则它们的交集\( S^+_P \cap S^+_Q \)称为\( S^n \)的月牙。
  • 厚度（Thickness）：月牙\( S^+_P \cap S^+_Q \)的厚度由\( \Delta(S^+_P \cap S^+_Q) = \pi - |PQ| \)给出。
  • 宽度（Width）：如果\( S^+_P \)是凸体\( K \)的支持半球体，则\( K \)相对于\( S^+_P \)的宽度定义为\( \text{width}_{S^+_P}(K) = \min\{\Delta(S^+_P \cap S^+_Q) : K \subset S^+_Q\} \)。
  • 凸包（Convex hull）：对于\( S^n \)中的任意子集\( W \)，\( W \)的球形凸包记为\( s\text{-conv}(W) \)。
  • Wulff形状（Wulff shape）：与函数\( \gamma: S^n \to \mathbb{R}^+ \)相关的Wulff形状记为\( W_\gamma \)。
  • 支撑函数（Support function）：与Wulff形状相关的支撑函数\( \bar{\gamma} \)定义为\( \gamma(\theta) = 1/\rho_{W_\gamma}(-\theta) \)。
  • 对偶Wulff形状（Dual Wulff shape）：与支撑函数\( \bar{\gamma} \)相关的对偶Wulff形状记为\( DW_\gamma \)。
  • 自对偶Wulff形状（Self-dual Wulff shape）：如果Wulff形状\( W \)与其对偶Wulff形状\( DW \)完全相同，则称\( W \)为自对偶Wulff形状。
  • 球极变换（Spherical polar transform）：球极变换是将\( R^{n+1} \)中的凸体映射到\( S^n \)中的球形凸体的过程。
  • 球面距离（Spherical distance）：对于\( S^n \)中的两点\( P \)和\( Q \)，它们的球面距离由\( |PQ| = \arccos(\overrightarrow{OP} \cdot \over

参考文献

这篇文章的主要参考文献如下：

  • Han, H., & Nishimura, T. (2017). Strictly convex Wulff shapes and C1 convex integrands, Proc. Amer. Math. Soc., 145, 3997–4008.
    • 提供了关于凸体和凸积分的研究，为本文提供了理论基础。
  • Han, H., & Nishimura, T. (2017). Self-dual Wulff shapes and spherical convex bodies of constant width π/2, J. Math. Soc. Japan., 69, 1475–1484.
    • 研究了自对偶Wulff形状和常宽球面凸体，为本文提供了重要的理论支持。
  • Lassak, M., & Musielak, M. (2018). Spherical bodies of constant width, Aequationes Math., 92, 627–640.
    • 探讨了常宽球面凸体的性质，对本文的研究有直接影响。
  • Lassak, M. (2015). Width of spherical convex bodies, Aequationes Math., 89, 555–567.
    • 研究了球面凸体的宽度，为本文提供了重要的参考。
  • Schneider, R. (2014). Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory, second edition, Encyclopedia Math. Appl., Cambridge University Press, Cambridge.
    • 提供了凸体理论的深入分析，为本文提供了理论背景。
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