WikiEdge:ArXiv-1910.10248
- 標題：Uniqueness Results for Bodies of Constant Width in the Hyperbolic Plane
- 中文標題：在雙曲平面中的常寬體的唯一性結果
- 發佈日期：2019-10-22 21:59:04+00:00
- 作者：M. Angeles Alfonseca, Michelle Cordier, Dan I. Florentin
- 分類：math.MG, 28A75, 51M09, 51M10, 51M25, 51F99, 52A38, 52A55, 53A35
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/1910.10248v1
摘要：遵循Santal\'{o}的方法，我們證明了在給定測地線族上，常寬體、常投影長度或常截面長度的圓盤有幾種特性。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 在雙曲平面中，是否存在兩個不同的凸體具有相同的投影（或截面）？
- 在雙曲平面中，一個具有恆定投影或截面的凸體是否一定是一個圓盤？
- 在雙曲平面中，一個具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的投影長度？
- 在雙曲平面中，一個具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的截面長度？
- 在雙曲平面中，一個凸體的寬度與其在給定家族的測地線上的投影長度是否捕捉了不同的信息？
- 在雙曲平面中，具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的投影長度？
- 在雙曲平面中，如何定義一個凸體的支撐函數？
- 在雙曲平面中，如何唯一地從投影長度重構一個凸體？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 幾何層析成像在雙曲平面中的應用：
- 幾何層析成像是研究如何從低維信息（如截面或投影的面積）重建凸體的主要問題之一。
- Aleksandrov定理表明，在歐幾里得空間中，一個原點對稱的凸體可以通過其投影的(n-1)維體積唯一確定。
- 本文關注的是雙曲平面H2中的重建問題，特別是唯一性問題，即是否存在兩個具有相同投影（或截面）的凸體K和L。
- 雙曲平面中常寬體的研究：
- 在雙曲空間中，常寬體的概念與歐幾里得空間不同，例如，雙曲平面中的常寬體不一定在每條線上都有恆定的投影長度。
- 文獻中已經研究了雙曲空間中的常寬體，並建立了一些與歐幾里得結果相似的性質。
- 本文通過研究雙曲平面中凸體的截面或投影，來研究常寬體的性質。
- 雙曲平面中凸體的截面和投影：
- 研究了雙曲空間中凸體的截面問題，與Busemann-Petty問題相關。
- 本文特別考慮了通過給定點的所有線上的截面或投影來研究常寬體。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了在雙曲平面中，從低維信息重建凸體的問題，以及常寬體在雙曲幾何中的獨特性質和應用。