WikiEdge:ArXiv-1910.10248
- 標題：Uniqueness Results for Bodies of Constant Width in the Hyperbolic Plane
- 中文標題：在雙曲平面中的常寬體的唯一性結果
- 發佈日期：2019-10-22 21:59:04+00:00
- 作者：M. Angeles Alfonseca, Michelle Cordier, Dan I. Florentin
- 分類：math.MG, 28A75, 51M09, 51M10, 51M25, 51F99, 52A38, 52A55, 53A35
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/1910.10248v1
摘要：遵循Santal\'{o}的方法，我們證明了在給定測地線族上，常寬體、常投影長度或常截面長度的圓盤有幾種特性。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 在雙曲平面中，是否存在兩個不同的凸體具有相同的投影（或截面）？
- 在雙曲平面中，一個具有恆定投影或截面的凸體是否一定是一個圓盤？
- 在雙曲平面中，一個具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的投影長度？
- 在雙曲平面中，一個具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的截面長度？
- 在雙曲平面中，一個凸體的寬度與其在給定家族的測地線上的投影長度是否捕捉了不同的信息？
- 在雙曲平面中，具有恆定寬度的凸體是否具有恆定的投影長度？
- 在雙曲平面中，如何定義一個凸體的支撐函數？
- 在雙曲平面中，如何唯一地從投影長度重構一個凸體？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 幾何層析成像在雙曲平面中的應用：
- 幾何層析成像是研究如何從低維信息（如截面或投影的面積）重建凸體的主要問題之一。
- Aleksandrov定理表明，在歐幾里得空間中，一個原點對稱的凸體可以通過其投影的(n-1)維體積唯一確定。
- 本文關注的是雙曲平面H2中的重建問題，特別是唯一性問題，即是否存在兩個具有相同投影（或截面）的凸體K和L。
- 雙曲平面中常寬體的研究：
- 在雙曲空間中，常寬體的概念與歐幾里得空間不同，例如，雙曲平面中的常寬體不一定在每條線上都有恆定的投影長度。
- 文獻中已經研究了雙曲空間中的常寬體，並建立了一些與歐幾里得結果相似的性質。
- 本文通過研究雙曲平面中凸體的截面或投影，來研究常寬體的性質。
- 雙曲平面中凸體的截面和投影：
- 研究了雙曲空間中凸體的截面問題，與Busemann-Petty問題相關。
- 本文特別考慮了通過給定點的所有線上的截面或投影來研究常寬體。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了在雙曲平面中，從低維信息重建凸體的問題，以及常寬體在雙曲幾何中的獨特性質和應用。
章節摘要
這篇論文是關於雙曲平面中恆寬體的唯一性研究，論文的主要內容可以概括如下：
- 引言
- 幾何層析學中的主要問題之一是從定量的低維信息（如截面或投影的面積）重建凸體。Aleksandrov定理是該領域的一個主要結果，證明了在Rn中，一個原點對稱的凸體可以通過其投影的(n-1)維體積唯一確定。
- 定義和符號
- 論文在雙曲平面H2的Poincaré圓盤模型和Poincaré上半平面模型中交替工作。定義了雙曲平面的一些基本事實，例如兩個點之間存在唯一的測地線，以及兩種模型都是保角的。
- 輔助引理
- 論文陳述了一些關於雙曲平面中凸體及其正交投影的基本度量事實。例如，一個凸體等於包含它的所有半平面的交集。
- 唯一重建結果
- 論文證明了圓盤在H2中可以通過以下任意兩個屬性唯一表徵：
- 原點對稱性。
- 恆寬。
- 通過給定點的所有線上的恆定投影長度。
- 通過給定點的所有線上的恆定截面長度。
- 附錄
- 論文展示了一個雙曲Reuleaux三角形具有恆寬但不是恆定的截面和投影長度。
研究方法
這篇論文通過在雙曲平面上研究凸體的幾何特性，探討了常寬體、常投影長度和常截面長度的性質。以下是該研究方法論的主要組成部分：
- 幾何特性定義與符號建立：
- 在雙曲平面H2上定義了凸體、常寬體、常投影長度和常截面長度等基本概念。
- 引入了雙曲平面的Poincaré圓盤模型和上半平面模型，以及相關的符號和術語。
- 凸體的幾何性質分析：
- 利用雙曲幾何中的角度、垂直性和支撐雙曲線等性質，分析了凸體的邊界和支撐雙曲線。
- 研究了常寬體的邊界上所有法雙曲線都是雙法線的性質。
- 通過凸體的直徑和最大寬度之間的關係，探討了凸體的幾何特性。
- 輔助引理的證明：
- 證明了凸體可以表示為包含它的所有半平面的交集。
- 通過構造具體的例子，展示了在雙曲平面上，具有相同投影長度的非全等凸體的存在。
- 利用Santaló引理，證明了常寬凸體的任意兩條法線在凸體內部相交。
- 主要定理的證明：
- 證明了如果一個凸體是原點對稱且具有常寬，則它必然是一個圓盤。
- 證明了如果一個凸體具有常寬，並且所有通過原點的雙曲線上的投影長度都相等，則它必然是一個圓盤。
- 探討了在雙曲平面上，常寬體不一定具有常投影長度的性質，這與歐幾里得平面的情況不同。
- 通過反例，展示了即使在雙曲平面上，具有常寬的凸體也可能不具有常投影長度。
- 雙曲平面上的特殊構造：
- 構造了具有常寬但不同投影長度的雙曲Reuleaux三角形。
- 通過計算，展示了雙曲Reuleaux三角形的寬度和在特定雙曲線上的投影長度。
- 討論了如何通過微擾圓盤構造具有常寬但投影長度不恆定的C1光滑體。
這篇論文的方法論分析結果表明，在雙曲平面上，圓盤是唯一滿足常寬和常投影長度的凸體，這一發現對於理解雙曲幾何中的凸體特性具有重要意義。