WikiEdge:ArXiv-2004.10865

• 標題：Body of constant width with minimal area in a given annulus
• 中文標題：在給定環形中具有最小面積的常寬體
• 發布日期：2020-04-22 21:11:34+00:00
• 作者：Antoine Henrot, Ilaria Lucardesi
• 分類：math.MG, math.OC, 52A10, 49Q10, 49Q12, 52A38
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2004.10865v2

摘要：在本文中，我們解決了以下形狀優化問題：在預設定的常寬度和內半徑的集合中，尋找面積最小的平面域。在文獻中，這個問題被歸因於Bonnesen，他在文獻{BF}中提出了這個問題。在當前的工作中，我們為每一個寬度和內半徑的選擇提供了問題的完整答案，給出了最優集合的明確特徵。這些最優集合是特定的Reuleaux多邊形。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何在給定的圓環中找到具有最小面積的等寬體？
• 對於不同的寬度和內半徑選擇，最優集合的顯式特徵是什麼？
• 如何證明Bonnesen關於在給定圓環中最小化面積的猜想？
• Reuleaux多邊形在等寬體中最小化面積問題中的作用是什麼？
• 如何描述具有給定內半徑的等寬體的最優形狀？
• 如何證明關於等寬體最小面積問題的猜想，並提供更精確的結果？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的幾何特性：
   • 常寬體（也稱作歐拉體或Reuleaux體)是一類在每個方向上具有相同寬度的幾何形狀，這類形狀在數學和工程學中具有重要的應用。
   • 這類形狀因其獨特的幾何性質，如在給定寬度下最小化面積的問題，而受到廣泛關注。
2. 面積最小化問題的歷史：
   • 歷史上，Blaschke-Lebesgue定理是關於常寬體中面積最小化問題的一個著名結果，它表明Reuleaux三角形在所有常寬體中具有最小的面積。
   • 該問題由Bonnesen提出，並在文獻[3]中進行了討論，但之前沒有給出完整的解答。
3. 給定內半徑和寬度的優化問題：
   • 本文研究了在給定內半徑和寬度的條件下，尋找具有最小面積的平面域的問題。
   • 這個問題在數學優化和幾何分析中具有挑戰性，因為它涉及到在特定約束條件下尋找最優幾何形狀。
4. Reuleaux多邊形的特性：
   • Reuleaux多邊形是一類特殊的常寬體，其邊界由圓形弧段組成，這些弧段的中心位於邊界點。
   • 這類多邊形在解決最小化問題時具有特殊的重要性，因為它們在滿足給定寬度和內半徑的條件下，可能形成最優解。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在給定幾何約束下，尋找具有最小面積的常寬體的數學問題，以及這類問題在理論和應用中的重要性。