WikiEdge:ArXiv-2011.06398

• 標題：Spherical coverings and X-raying convex bodies of constant width
• 中文標題：球形覆蓋和常寬凸體的X射線
• 發佈日期：2020-11-12 14:11:57+00:00
• 作者：A. Bondarenko, A. Prymak, D. Radchenko
• 分類：math.MG, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2011.06398v3

摘要：K. Bezdek 和 Gy. Kiss 展示了，存在以原點為中心的單位球在 $\mathbb{E}^n$ 中至多由 $2^n$ 個相同的球帽覆蓋，其半徑不超過 $\arccos\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$，這暗示了對於在 $\mathbb{E}^n$ 中的常寬凸體的 $X$-射線猜想和照明猜想，並且為 $4\le n\le 6$ 構造了這樣的覆蓋。在這裏，我們給出了對於 $5\le n\le 15$ 的這樣的構造，其球帽數量少於 $2^n$。 對於在 $\mathbb{E}^n$ 中的任何常寬凸體的照明數，O.~Schramm 證明了一個上界估計，其指數增長的階為 $(3/2)^{n/2}$。特別地，該估計對於 $n\ge 16$ 小於 $3\cdot 2^{n-2}$，確認了上述猜想對於常寬凸體類的適用性。因此，我們的結果解決了未決的 $7\le n\le 15$ 的情況。 我們還展示了如何在計算機上有效地計算給定離散點集在球面上的覆蓋半徑。