WikiEdge:ArXiv-2011.06398

• 標題：Spherical coverings and X-raying convex bodies of constant width
• 中文標題：球形覆蓋和常寬凸體的X射線
• 發佈日期：2020-11-12 14:11:57+00:00
• 作者：A. Bondarenko, A. Prymak, D. Radchenko
• 分類：math.MG, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2011.06398v3

摘要：K. Bezdek 和 Gy. Kiss 展示了，存在以原點為中心的單位球在 $\mathbb{E}^n$ 中至多由 $2^n$ 個相同的球帽覆蓋，其半徑不超過 $\arccos\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$，這暗示了對於在 $\mathbb{E}^n$ 中的常寬凸體的 $X$-射線猜想和照明猜想，並且為 $4\le n\le 6$ 構造了這樣的覆蓋。在這裏，我們給出了對於 $5\le n\le 15$ 的這樣的構造，其球帽數量少於 $2^n$。 對於在 $\mathbb{E}^n$ 中的任何常寬凸體的照明數，O.~Schramm 證明了一個上界估計，其指數增長的階為 $(3/2)^{n/2}$。特別地，該估計對於 $n\ge 16$ 小於 $3\cdot 2^{n-2}$，確認了上述猜想對於常寬凸體類的適用性。因此，我們的結果解決了未決的 $7\le n\le 15$ 的情況。 我們還展示了如何在計算機上有效地計算給定離散點集在球面上的覆蓋半徑。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何構造單位球面上的球冠覆蓋，使得覆蓋半徑不超過 \(\arccos \left(\sqrt{\frac{n-1}{2n}}\right)\) 並且球冠數量不超過 \(2n\)？
• 對於 \(5 \leq n \leq 15\) 的維度，能否找到少於 \(2n\) 個球冠的覆蓋？
• 如何計算給定離散點集在球面上的覆蓋半徑？
• 如何證明對於常寬凸體的X射線猜想和照明猜想？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 球面覆蓋問題與凸體的X射線問題：
   • 球面覆蓋問題涉及將球面上的點集用最少數量的球冠覆蓋，這種研究在編碼理論、通信和計算機科學中有廣泛應用。
   • X射線問題則關注於確定最少需要多少方向的射線能夠穿過一個凸體，使其內部的每個點至少被一條射線穿過。
   • 這兩個問題在凸體幾何學中具有重要意義，並且與許多數學領域的問題相關，如凸體的照明問題。
2. 凸體的常寬性質：
   • 常寬凸體是一類特殊的凸體，其在任何方向上的投影長度都是常數。這類凸體在幾何學、物理學和工程學中都有重要應用。
   • 常寬凸體的研究有助於理解更一般的凸體的性質，以及它們在不同領域中的應用。
3. 數學上的猜想與證明：
   • 文獻中提到了X射線猜想和照明猜想，這些猜想是關於凸體的X射線數和照明數的上界估計。
   • 這些猜想的證明不僅對數學理論有重要意義，而且對實際應用，如計算機圖形學和優化問題，也有潛在的影響。
4. 計算方法的應用：
   • 作者提到了使用計算方法來解決球面覆蓋問題，這表明數學問題的解決越來越依賴於計算機輔助技術。
   • 計算方法的應用提高了解決複雜數學問題的效率，並允許研究者探索更高維度的問題。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了球面覆蓋問題和X射線問題在數學和應用科學中的重要性，以及常寬凸體在這些領域中的特殊角色。同時，它也展示了計算方法在現代數學研究中的關鍵作用。