WikiEdge:ArXiv-2011.06398
- 标题：Spherical coverings and X-raying convex bodies of constant width
- 中文标题：球形覆盖和常宽凸体的X射线
- 发布日期：2020-11-12 14:11:57+00:00
- 作者：A. Bondarenko, A. Prymak, D. Radchenko
- 分类：math.MG, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/2011.06398v3
摘要：K. Bezdek 和 Gy. Kiss 展示了，存在以原点为中心的单位球在 $\mathbb{E}^n$ 中至多由 $2^n$ 个相同的球帽覆盖，其半径不超过 $\arccos\sqrt{\frac{n-1}{2n}}$，这暗示了对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的常宽凸体的 $X$-射线猜想和照明猜想，并且为 $4\le n\le 6$ 构造了这样的覆盖。在这里，我们给出了对于 $5\le n\le 15$ 的这样的构造，其球帽数量少于 $2^n$。 对于在 $\mathbb{E}^n$ 中的任何常宽凸体的照明数，O.~Schramm 证明了一个上界估计，其指数增长的阶为 $(3/2)^{n/2}$。特别地，该估计对于 $n\ge 16$ 小于 $3\cdot 2^{n-2}$，确认了上述猜想对于常宽凸体类的适用性。因此，我们的结果解决了未决的 $7\le n\le 15$ 的情况。 我们还展示了如何在计算机上有效地计算给定离散点集在球面上的覆盖半径。
问题与动机
作者的研究问题包括：
- 如何构造单位球面上的球冠覆盖，使得覆盖半径不超过 \(\arccos \left(\sqrt{\frac{n-1}{2n}}\right)\) 并且球冠数量不超过 \(2n\)？
- 对于 \(5 \leq n \leq 15\) 的维度，能否找到少于 \(2n\) 个球冠的覆盖？
- 如何计算给定离散点集在球面上的覆盖半径？
- 如何证明对于常宽凸体的X射线猜想和照明猜想？
背景介绍
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
- 球面覆盖问题与凸体的X射线问题：
- 凸体的常宽性质：
- 数学上的猜想与证明：
- 计算方法的应用：
- 作者提到了使用计算方法来解决球面覆盖问题，这表明数学问题的解决越来越依赖于计算机辅助技术。
- 计算方法的应用提高了解决复杂数学问题的效率，并允许研究者探索更高维度的问题。
综上所述，这篇文献的背景强调了球面覆盖问题和X射线问题在数学和应用科学中的重要性，以及常宽凸体在这些领域中的特殊角色。同时，它也展示了计算方法在现代数学研究中的关键作用。
章节摘要
这篇论文是关于球面覆盖和X射线凸体的常宽问题的研究，论文的主要内容可以概括如下：
- 引言：
- 球面覆盖的计算：
- 定理1的证明：
- 构建了对于5到15维的球面覆盖，证明了对于这些维度，可以找到少于2n个球冠的覆盖。
- 使用了E8格的最小范数向量来解决n=8的情况，并探索了坐标置换和原点对称的向量系统。
- 提供了详细的构造方法和计算覆盖半径的结果，包括生成集的向量和覆盖半径的数值。