WikiEdge:ArXiv-2106.00118

• 標題：Approximation of Spherical Bodies of Constant Width and Reduced Bodies
• 中文標題：常寬球體和約化體的近似
• 發佈日期：2021-05-31 22:11:14+00:00
• 作者：Marek Lassak
• 分類：math.MG, 52A55
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2106.00118v2

摘要：我們提出了 Blaschke 定理的球面版本，即任何寬度為 $w < \frac{\pi}{2}$ 的恆寬體都可以在 Hausdorff 距離意義上被一個只由半徑為 $w$ 的圓弧構成的恆寬體儘可能好地逼近。這是我們關於球面約化體逼近定理的一個特例。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何將平面上的Blaschke定理推廣到球面上？
• 如何在球面上定義和構造具有恆定寬度的凸體？
• 如何在球面上定義和構造簡化體？
• 如何在球面上近似具有恆定寬度的凸體和簡化體？
• 如何在球面上測量和比較凸體之間的距離？
• 如何在球面上構造具有特定幾何屬性的凸體？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 球面幾何中的凸體近似問題：
   • 研究球面上的凸體，特別是具有恆定寬度的凸體，以及它們的近似問題。
   • 探討了在球面幾何中，如何通過具有特定屬性的凸體來逼近給定的凸體。
2. Blaschke定理的球面版本：
   • Blaschke定理指出，在歐幾里得平面中，任何具有恆定寬度的凸體都可以被一系列邊界僅由半徑等於該寬度的圓弧組成的凸體逼近。
   • 本文提出了Blaschke定理在球面幾何中的一個版本，即任何球面上的具有恆定寬度的凸體都可以被具有相同寬度的凸體逼近，這些凸體的邊界僅由圓弧組成。
3. 球面幾何中凸體的寬度和簡化體的概念：
   • 討論了球面凸體的寬度定義及其性質，以及如何確定一個凸體是否具有恆定寬度。
   • 引入了球面簡化體的概念，並探討了其基本性質。
4. 球面幾何中的Hausdorff距離：
   • 在球面幾何中，使用Hausdorff距離來量化兩個凸體之間的接近程度。
   • 討論了如何通過控制Hausdorff距離來實現凸體的逼近。
5. 球面幾何中凸體的邊界結構：
   • 分析了球面凸體的邊界結構，特別是那些具有恆定寬度或簡化性質的凸體。
   • 探討了如何通過邊界結構來構建逼近凸體。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在球面幾何中對凸體進行逼近的重要性和方法，特別是在具有恆定寬度和簡化性質的凸體的背景下。