WikiEdge:ArXiv-2106.00118

• 標題：Approximation of Spherical Bodies of Constant Width and Reduced Bodies
• 中文標題：常寬球體和約化體的近似
• 發佈日期：2021-05-31 22:11:14+00:00
• 作者：Marek Lassak
• 分類：math.MG, 52A55
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2106.00118v2

摘要：我們提出了 Blaschke 定理的球面版本，即任何寬度為 $w < \frac{\pi}{2}$ 的恆寬體都可以在 Hausdorff 距離意義上被一個只由半徑為 $w$ 的圓弧構成的恆寬體儘可能好地逼近。這是我們關於球面約化體逼近定理的一個特例。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何將平面上的Blaschke定理推廣到球面上？
• 如何在球面上定義和構造具有恆定寬度的凸體？
• 如何在球面上定義和構造簡化體？
• 如何在球面上近似具有恆定寬度的凸體和簡化體？
• 如何在球面上測量和比較凸體之間的距離？
• 如何在球面上構造具有特定幾何屬性的凸體？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 球面幾何中的凸體近似問題：
   • 研究球面上的凸體，特別是具有恆定寬度的凸體，以及它們的近似問題。
   • 探討了在球面幾何中，如何通過具有特定屬性的凸體來逼近給定的凸體。
2. Blaschke定理的球面版本：
   • Blaschke定理指出，在歐幾里得平面中，任何具有恆定寬度的凸體都可以被一系列邊界僅由半徑等於該寬度的圓弧組成的凸體逼近。
   • 本文提出了Blaschke定理在球面幾何中的一個版本，即任何球面上的具有恆定寬度的凸體都可以被具有相同寬度的凸體逼近，這些凸體的邊界僅由圓弧組成。
3. 球面幾何中凸體的寬度和簡化體的概念：
   • 討論了球面凸體的寬度定義及其性質，以及如何確定一個凸體是否具有恆定寬度。
   • 引入了球面簡化體的概念，並探討了其基本性質。
4. 球面幾何中的Hausdorff距離：
   • 在球面幾何中，使用Hausdorff距離來量化兩個凸體之間的接近程度。
   • 討論了如何通過控制Hausdorff距離來實現凸體的逼近。
5. 球面幾何中凸體的邊界結構：
   • 分析了球面凸體的邊界結構，特別是那些具有恆定寬度或簡化性質的凸體。
   • 探討了如何通過邊界結構來構建逼近凸體。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在球面幾何中對凸體進行逼近的重要性和方法，特別是在具有恆定寬度和簡化性質的凸體的背景下。

章節摘要

這篇論文是關於球體幾何中恆寬體和簡化體的逼近問題的研究，論文的主要內容可以概括如下：

1. 引言：介紹了Blaschke定理在歐幾里得平面上的一個版本，該定理表明任何恆寬凸體都可以用僅由半徑為該寬度的圓弧組成的凸體來逼近。論文提出了這個定理在球面S2上的一個類似版本。
2. 球面幾何的輔助事實：
   • 定義了球面S2上的基本幾何概念，如大圓、對跖點、球冠、球面凸集等。
   • 提出了一個引理，如果一個閉集在每個邊界點都被半球支撐，則該集合是凸的。
   • 討論了球面凸體的極點、月牙形和厚度的概念。
3. 球面上的簡化體：
   • 定義了球面簡化體的概念，即對於任何子集Z，如果Z是凸體且∆(Z) < ∆(R)，則稱R為簡化體。
   • 討論了簡化體的基本性質，並引用了相關文獻中對簡化體邊界結構的描述。
   • 提出了一個定理，對於任何厚度小於π/2的簡化體R，存在一個簡化體Rε，其邊界僅由蝴蝶形的臂和半徑為∆(R)的圓弧組成，使得Rε和R之間的Hausdorff距離最多為ε。
4. 簡化體的逼近：
   • 詳細描述了構造Rε的過程，包括如何用圓弧替換R的邊界上的曲線對。
   • 證明了Rε是一個凸體，並且具有與R相同的厚度。
   • 證明了Rε是一個簡化體，並且與R的Hausdorff距離最多為ε。
   • 提出了一個推論，對於任何恆寬體W，存在一個具有相同厚度的恆寬體Wε，其邊界僅由半徑為∆(W)的圓弧組成，使得W和Wε之間的Hausdorff距離最多為ε。
5. 參考文獻：列出了用於撰寫論文的相關文獻。

研究方法

這篇論文通過綜合分析球面幾何、凸體理論和Hausdorff距離，探討了球面上的常寬體和約簡體的近似問題。以下是該研究方法論的主要組成部分：

1. 球面幾何基礎：
   • 定義了球面幾何中的關鍵概念，如大圓、對跖點、球面距離和球面凸集。
   • 引入了球面凸體的支撐概念，包括支撐半球和支撐月牙形。
   • 討論了球面凸體的寬度定義及其與支撐半球的關係。
2. 凸體理論應用：
   • 利用凸體理論分析了球面上的常寬體和約簡體的性質。
   • 引入了球面上的常寬體和約簡體的邊界結構。
   • 證明了球面上的凸體可以被一系列更簡單的幾何形狀（如月牙形和弧線）所逼近。
3. Hausdorff距離計算：
   • 使用Hausdorff距離來量化兩個凸體之間的接近程度。
   • 通過構造一系列逼近凸體來證明給定的凸體可以被具有相同寬度的簡單凸體逼近。
   • 證明了逼近凸體的邊界由月牙形的臂和半徑為常數的圓弧組成。
4. 構造逼近凸體的算法：
   • 提出了一種算法，通過逐步替換凸體邊界上的弧線來構造逼近凸體。
   • 證明了該算法能夠生成一系列凸體，這些凸體的Hausdorff距離可以任意接近原始凸體。
   • 討論了算法的收斂性和逼近凸體的幾何特性。
5. 理論證明和幾何構造：
   • 通過幾何構造和理論證明，展示了如何將球面上的凸體逼近為具有相同寬度的簡單凸體。
   • 證明了逼近凸體的邊界結構和原始凸體的邊界結構之間的關係。
   • 討論了逼近凸體的寬度和原始凸體的寬度之間的關係。

這篇論文的方法論分析結果表明，球面上的常寬體和約簡體可以通過一系列幾何構造和逼近算法被有效逼近，這對於理解和計算球面上的幾何形狀提供了重要的理論基礎。