WikiEdge:ArXiv-2109.06962
- 標題：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
- 中文標題：在$\mathbb{R}^3$中的等寬體的雙單調流
- 發布日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
- 作者：Ryan Hynd
- 分類：math.FA
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1
摘要：我們在三維歐幾里得空間的常寬體空間中引入了一種流動，該流動在時間增加的同時，增加了體積並減小了形狀的外接半徑。從任何初始的常寬圖形開始，我們證明了流動存在於所有正時間，並且隨著時間趨向於正無窮大，它收斂於一個封閉的球體。我們還預期這種流動對於負時間的研究會很有趣，並且它將提供一種機制來減少常寬體的體積並增加其外接半徑。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- 如何在三維歐幾里得空間中定義一個同時增加體積和減小外接圓半徑的恆寬體流？
- 從任何初始恆寬體開始，流是否對所有正時間存在，並且當時間趨於正無窮時，是否會收斂到一個閉球？
- 通過逆轉時間，流的極限形狀是否存在，並且是否能夠提供對最小體積恆寬體和具有最大外接圓半徑的恆寬體之間關係的洞察？
- 如何發展一種方法來研究恆寬體的體積最小化問題，特別是在三維空間中？
- 如何證明在三維空間中，體積最小化的恆寬體存在，並且它們是否具有最大的外接圓半徑？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- 常寬體的幾何特性：
- 常寬體是歐幾里得空間中的一類特殊凸體，無論在哪個方向上，平行支撐平面之間的距離都是相同的。在三維空間中，球體是最簡單的常寬體例子。
- 常寬體的體積最小化問題在數學上具有重要意義，Lebesgue和Blaschke在平面上獨立證明了Reuleaux三角形具有最小的面積。
- 在三維空間中，體積最小化的常寬體存在性是Blaschke選擇定理的一個結果，但這些形狀的具體特性並不廣為人知。
- 常寬體的流形和演化：
- 本文提出了一種在三維空間中常寬體的流形上定義的流，這種流同時增加體積並減少形狀的外接圓半徑。
- 該流的存在性和行為被詳細研究，特別是隨著時間推移，流如何將任何初始形狀變形為半徑為1/2的球體。
- 通過研究時間反轉的流，探討了體積最小化常寬體與具有最大外接圓半徑的常寬體之間可能存在的聯繫。
- 數學和物理中的流形理論：
- 凸體和支撐函數的數學理論：
- 支撐函數是描述凸體邊界特性的重要工具，本文利用支撐函數來分析常寬體的幾何特性。
- 通過支撐函數，可以定義常寬體的內外半徑，並研究其與體積和外接圓半徑的關係。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了在三維空間中常寬體的幾何特性、流形和演化，以及支撐函數在描述這些特性中的應用，特別是在探討體積最小化和外接圓半徑最大化問題之間的可能聯繫。