WikiEdge:ArXiv-2109.06962

• 標題：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
• 中文標題：$\mathbb{R}^3$中常寬體的雙單調流
• 發布日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分類：math.FA
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1

摘要：我們在三維歐幾里得空間的等寬體空間中引入了一種流動，該流動隨著時間的增加同時增加體積並減小形狀的外接半徑。從任何初始的等寬圖形開始，我們證明了流動對所有正時間存在，並且隨著時間趨向正無窮大，流動將收斂於一個閉球。我們還預期這種流動對於負時間的研究也很有趣，並且它將提供一種機制來減小等寬體的體積並增加其外接半徑。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何在三維歐幾里得空間中定義一個同時增加體積和減小外接圓半徑的常寬體流？
• 從任何初始常寬體開始，流是否存在於所有正時間，並且隨著時間趨向正無窮，是否會收斂到閉球？
• 通過逆轉時間，流的極限形狀是否存在，並且是否能提供對最小體積常寬體和具有最大外接圓半徑的常寬體之間關係的洞察？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的幾何特性：
   • 常寬體是歐幾里得空間中的一類特殊凸體，其在每個方向上的平行支撐平面之間的距離相等。這類幾何體的寬度固定，例如半徑為1/2的閉球是最簡單也是最知名的常寬體。
   • 常寬體在二維平面上，如勒貝格和布拉施克獨立證明的勒貝格-布拉施克定理所述，具有最小面積的常寬體是瑞利克斯三角形。
   • 在三維空間中，體積最小化的常寬體的存在性是布拉施克選擇定理的一個結果，但關於這些形狀的具體信息卻鮮為人知。
2. 體積最小化與最大外接球半徑的常寬體：
   • 作者探討了是否存在一種聯繫，將體積最小化的常寬體與具有最大外接球半徑的常寬體聯繫起來。
   • 例如，梅斯納四面體是基於正四面體構造的，類似於瑞利克斯三角形基於等邊三角形。
3. 常寬體的流形和演化：
   • 作者提出了一種在三維空間中常寬體的流形上的流，這種流在時間向前移動時，體積增加而外接球半徑減小。
   • 這種流的存在性和行為，以及其對理解最小體積常寬體與最大外接球半徑之間關係的潛在價值，是本文研究的重點。
4. 數學理論和方法的發展：
   • 論文中使用了一系列數學工具和理論，包括支撐函數、空間函數、測度、存在性定理等，來分析和證明提出的流的性質。
   • 這些方法不僅對解決具體的幾何問題有重要意義，也對更廣泛的數學和應用數學領域提供了新的視角和工具。

綜上所述，這篇文獻的背景強調了在三維空間中常寬體的幾何特性、體積最小化問題、外接球半徑的最大化，以及通過數學流的引入來探索這些特性之間可能存在的聯繫。