WikiEdge:ArXiv-2109.06962

• 標題：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
• 中文標題：$\mathbb{R}^3$中常寬體的雙單調流
• 發布日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分類：math.FA
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1

摘要：我們在三維歐幾里得空間的常寬體空間中引入了一種流動，隨著時間的增加，它同時增加了體積並減小了形狀的外接半徑。從任何初始的常寬圖形開始，我們證明了流動對所有正時間存在，並且隨著時間趨於正無窮大，它收斂於一個閉球。我們也預期這種流動對於負時間的研究會很有趣，並且它將提供一種機制來減小常寬體的體積並增加其外接半徑。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何在三維歐幾里得空間中定義一個流，使其同時增加體積並減少形狀的外接圓半徑？
• 從任何初始的等寬體開始，流是否對所有正時間存在，並且隨著時間趨向無窮大會收斂到閉球？
• 流在負時間是否有趣，它是否能提供一種機制來減少等寬體的體積並增加其外接圓半徑？
• 等寬體中體積最小與具有最大外接圓半徑的體之間是否存在某種聯繫？
• 如何發展一種方法來探索等寬體的體積最小化問題？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的幾何特性：
   • 常寬體是歐幾里得空間中的一類凸集，其在每個方向上平行支撐平面之間的距離相同。這類幾何體在數學和物理中具有重要的應用。
   • 常寬體的例子包括半徑為1/2的閉球，它是所有常寬體中包圍體積最大的形狀。
   • 在平面上，Lebesgue和Blaschke證明了Reuleaux三角形具有最小的面積，這表明了對體積最小化的常寬體的研究具有悠久的歷史。
2. 三維空間中常寬體的體積最小化問題：
   • 對於三維空間中的常寬體，雖然已知存在體積最小化的常寬體，但關於這些形狀的具體信息卻知之甚少。
   • Meissner和Schilling基於正四面體構造了一些常寬體，這些體被認為是體積最小化的候選者。
3. 常寬體的內外球半徑關係：
   • 常寬體的一個顯著特徵是其內球和外球的半徑之和為1，這為研究常寬體提供了新的視角。
   • 探討具有最大外半徑的常寬體與體積最小化常寬體之間是否存在聯繫，是本研究的一個動機。
4. 雙單調流的引入：
   • 作者提出了一種在三維空間中常寬體的流，這種流在時間正向移動時，體積增加而外半徑減小。
   • 這種流的存在性和行為對於理解常寬體的幾何特性和解決上述問題具有重要意義。