WikiEdge:ArXiv-2109.06962

• 標題：A doubly monotone flow for constant width bodies in $\mathbb{R}^3$
• 中文標題：$\mathbb{R}^3$中常寬體的雙單調流
• 發佈日期：2021-09-14 20:46:37+00:00
• 作者：Ryan Hynd
• 分類：math.FA
• 原文連結：http://arxiv.org/abs/2109.06962v1

摘要：我們在三維歐幾里得空間的常寬體空間中引入了一種流動，隨着時間的增加，它同時增加了體積並減小了形狀的外接半徑。從任何初始的常寬圖形開始，我們證明了流動對所有正時間存在，並且隨着時間趨於正無窮大，它收斂於一個閉球。我們也預期這種流動對於負時間的研究會很有趣，並且它將提供一種機制來減小常寬體的體積並增加其外接半徑。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何在三維歐幾里得空間中定義一個流，使其同時增加體積並減少形狀的外接圓半徑？
• 從任何初始的等寬體開始，流是否對所有正時間存在，並且隨着時間趨向無窮大會收斂到閉球？
• 流在負時間是否有趣，它是否能提供一種機制來減少等寬體的體積並增加其外接圓半徑？
• 等寬體中體積最小與具有最大外接圓半徑的體之間是否存在某種聯繫？
• 如何發展一種方法來探索等寬體的體積最小化問題？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 常寬體的幾何特性：
   • 常寬體是歐幾里得空間中的一類凸集，其在每個方向上平行支撐平面之間的距離相同。這類幾何體在數學和物理中具有重要的應用。
   • 常寬體的例子包括半徑為1/2的閉球，它是所有常寬體中包圍體積最大的形狀。
   • 在平面上，Lebesgue和Blaschke證明了Reuleaux三角形具有最小的面積，這表明了對體積最小化的常寬體的研究具有悠久的歷史。
2. 三維空間中常寬體的體積最小化問題：
   • 對於三維空間中的常寬體，雖然已知存在體積最小化的常寬體，但關於這些形狀的具體信息卻知之甚少。
   • Meissner和Schilling基於正四面體構造了一些常寬體，這些體被認為是體積最小化的候選者。
3. 常寬體的內外球半徑關係：
   • 常寬體的一個顯著特徵是其內球和外球的半徑之和為1，這為研究常寬體提供了新的視角。
   • 探討具有最大外半徑的常寬體與體積最小化常寬體之間是否存在聯繫，是本研究的一個動機。
4. 雙單調流的引入：
   • 作者提出了一種在三維空間中常寬體的流，這種流在時間正向移動時，體積增加而外半徑減小。
   • 這種流的存在性和行為對於理解常寬體的幾何特性和解決上述問題具有重要意義。

章節摘要

這篇論文是關於三維空間中恆寬體的雙向單調流的研究，主要內容包括：

1. 引言：
   • 定義了恆寬體為歐幾里得空間中的緊湊凸子集，且在每個方向上平行支撐平面之間的距離相同。
   • 討論了寬度為一的恆寬體，如半徑為1/2的閉球。
   • 提出了一個關於體積最小化恆寬體的問題，以及它們與具有最大外接半徑的恆寬體之間可能的聯繫。
   • 引入了支持函數的概念，並討論了其與恆寬體的關係。

1. 支持函數：
   • 討論了凸體的支持函數及其性質。
   • 推導出了外接半徑和體積的公式。
   • 證明了恆寬體的內球和外接球是同心的，並且它們的半徑之和為1。

1. 函數和測度的空間：
   • 研究了分析雙向非線性演化所需的各種空間。
   • 證明了空間C的凸性和緊性。
   • 引入了E*變分的概念，並討論了其在路徑上的應用。

1. 存在性定理：
   • 建立了在給定初始條件下，存在滿足方程(1.4)的解ξ。
   • 討論了弱解的概念，並證明了弱解的存在性。
   • 通過設計近似序列和提取子序列來證明解的存在性。

1. 附錄：
   • 提供了關於P⊥中元素平滑化、單調函數和次連續函數的討論。
   • 包含了一些技術細節和輔助結果，這些結果對理解論文主體內容至關重要。