WikiEdge:ArXiv-2211.06151

• 標題：On mean curvature integrals of the outer parallel convex body of constant width
• 中文標題：關於常寬度外部平行凸體的平均曲率積分
• 發布日期：2022-11-11 12:07:26+00:00
• 作者：Zezhen Sun
• 分類：math.MG, 52A20, 53C65
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2211.06151v1

摘要：在本文中，我們得到了一些關於常寬度外部平行凸體的平均曲率積分的結果。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何計算常寬體外平行凸體的平均曲率積分？
• 如何將常寬體的外平行凸體的平均曲率積分與投影體的平均曲率積分聯繫起來？
• 如何在Grassmann流形上計算外平行凸體的平均曲率積分的積分？
• 如何將這些結果應用於凸體理論和積分幾何？

背景介紹

這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：

1. 積分幾何中的平均曲率積分：
   • 平均曲率積分是積分幾何中的一個基本概念，它連接了許多幾何不變量，如面積、球面高斯映射的度數、歐拉-泊松特徵數、高斯-克羅內克曲率等。
   • 平均曲率積分與凸體的閔可夫斯基問題積分密切相關，在凸體理論中起着重要作用。
2. 常寬凸體的外平行凸體的平均曲率積分：
   • 常寬凸體是指在任意兩個平行支撐超平面之間始終保持恆定距離的凸體。
   • 研究外平行凸體的平均曲率積分有助於更深入地理解常寬凸體的幾何特性。
3. 前人工作與本研究的關係：
   • Santalò 研究了在 \( \mathbb{R}^n \) 中的凸體 \( K \) 的平均曲率積分 \( M(n)_l \) 並建立了其與 \( M(r)_i \) 的關係。
   • 後續研究者如 Zhou-Jiang、Jiang-Zeng 和 Zeng-Ma-Xia 進一步研究了外平行凸體的平均曲率積分，擴展了 Santalò 的結果。
   • 本文在前人研究的基礎上，進一步探討了常寬凸體外平行凸體的平均曲率積分。

章節摘要

這篇論文是關於常寬體外平行凸體的平均曲率積分的研究，論文的主要內容可以概括如下：

1. 引言
   1. 平均曲率積分是積分幾何的一個基本概念，它連接了許多幾何不變量，如面積、球面高斯映射的度數、歐拉-泊松特徵數、高斯-克羅內克曲率等。它與凸體的閔可夫斯基疑問積分密切相關，在凸體理論中起着重要作用。

1. 預備知識
   1. 定義了凸體、凸超曲面、投影體等基本概念，並介紹了閔可夫斯基疑問積分的定義和性質。
   2. 介紹了外平行凸體的概念，以及Steiner公式和其對投影體體積的影響。

1. 主要定理的證明
   1. 定理1.1
   • 證明了在不同條件下，外平行凸體的平均曲率積分可以通過原凸體的平均曲率積分和一些幾何參數來表示。
   1. 定理1.2
   • 計算了在Grassmann流形上的平均曲率積分的積分，並展示了其與原凸體平均曲率積分的關係。

1. 致謝
   1. 作者感謝上海市科學技術委員會和國家自然科學基金的部分支持，並聲明了研究資助和數據可用性。

1. 參考文獻
   1. 列出了相關研究的參考文獻，包括Santaló、Zhou-Jiang、Jiang-Zeng、Zeng-Ma-Xia等。

研究方法

這篇論文通過數學分析和幾何計算，研究了常寬體外平行凸體的平均曲率積分。以下是該研究方法論的主要組成部分：

1. 數學分析：
   • 利用積分幾何的基本概念，如平均曲率積分，連接幾何不變量，例如面積、球面高斯映射的度數、歐拉-泊松特徵數、高斯-克羅內克曲率等。
   • 應用了凸體的Minkowski quermassintegral理論，這是凸體理論中的重要工具。
2. 幾何計算：
   • 研究了在n維歐幾里得空間中，通過固定點O的r維線性子空間Lr[O]的外平行凸體Kρ的平均曲率積分M(n) l。
   • 計算了凸體Φ'r在r維線性子空間Lr[O]上的正交投影(Φ'r)(n) ρ的邊界的平均曲率積分。
   • 利用了凸體Φ'r在Lr[O]中的平均曲率積分M(r) l與凸體Φ'r在Rn中的平均曲率積分M(n) l之間的關係。
3. 凸體理論：
   • 引入了凸體Φ的C2邊界∂Φ，並考慮了所有(n-r)維平面Ln−r[O]通過O的正交投影K'n−r。
   • 應用了凸體外平行體Kρ的Steiner公式，以及凸體的投影體積與Minkowski quermassintegral之間的關係。
   • 利用了凸體的高斯映射和主曲率，計算了平均曲率和高斯-克羅內克曲率。
4. 積分計算：
   • 計算了Gr,n−r上的積分，這是關於凸體投影體積的積分，以及與凸體的邊界平均曲率積分相關的積分。
   • 利用了Grassmann流形上的積分結果，得到了關於凸體Φ'r的邊界平均曲率積分的表達式。
5. 定理證明：
   • 證明了主要定理1.1和1.2，這些定理提供了常寬體外平行凸體的平均曲率積分的表達式。
   • 通過詳細的數學推導，展示了不同情況下平均曲率積分的計算方法。

這篇論文的方法論分析結果表明，作者成功地利用了積分幾何和凸體理論的工具，推導出了常寬體外平行凸體的平均曲率積分的精確表達式，為理解這類幾何體的幾何特性提供了新的視角。