WikiEdge:ArXiv-2304.04035
- 標題：The density of Meissner polyhedra
- 中文標題：Meissner多面體的密度
- 發佈日期：2023-04-08 15:07:22+00:00
- 作者：Ryan Hynd
- 分類：math.MG
- 原文連結：http://arxiv.org/abs/2304.04035v2
摘要：我們考慮在 $\mathbb{R}^3$ 中的Meissner多面體。這些是常寬體，其邊界由球面和紡錘形環面的部分組成。我們通過取同心球的適當交集來定義這些形狀，並顯示它們在Hausdorff拓撲中是常寬體空間的稠密集。這個密度斷言基本上是由Sallee證明的。然而，我們提供了一個現代的觀點，考慮到最近對球多面體的理解和基於這些形狀構造常寬體的進展。
問題與動機
作者的研究問題包括：
- Meissner多面體在三維空間中的密度是怎樣的？
- 如何證明Meissner多面體在常寬體空間中是密集的？
- Meissner多面體的體積如何計算？
- 如何使用數學軟件繪製Meissner多面體的圖形？
背景介紹
這篇文獻的背景主要集中在以下幾個方面：
- Meissner多面體的密度研究：
- Meissner多面體是三維空間中具有恆寬性質的幾何體，它們的邊界由球面和紡錘形環面的片段組成。
- 這些幾何體可以通過適當地相交相同的球體來定義，並且它們在恆寬體的空間中是密集的。
- 先前的研究由Sallee等人進行，他們證明了某些恆寬體類也是密集的，但與Meissner多面體之間的關係尚不清楚。
- 本文旨在通過現代視角，結合球體多面體的理解進展和基於這些形狀構建恆寬體的新方法，來探討Meissner多面體的密集性。
- Reuleaux多面體與球體多面體的聯繫：
- Reuleaux多面體是一類特殊的球體多面體，包括Reuleaux四面體，它們是Meissner四面體的構建基礎。
- 球體多面體是由有限集合的點在三維空間中定義的幾何體，這些點的直徑之和不超過1。
- 本文將探討Reuleaux多面體的構建，以及它們如何作為Meissner多面體的近似。
- 恆寬體的幾何特性：
- 恆寬體是具有恆定寬度的幾何體，即對於任意一對平行的支持平面，它們之間的距離是恆定的。
- 這類幾何體在數學和工程學中具有重要的應用，例如在機械設計和機械人路徑規劃中。
- 本文將討論Meissner多面體是否具有恆寬性質，並探索其幾何特性。
- 數學理論的應用與進展：
- 本文將使用Hausdorff距離來衡量凸體之間的差異，並探討Meissner多面體在恆寬體空間中的密集性。
- 通過數學建模和計算，本文提供了對Meissner多面體體積的計算方法，以及如何使用Mathematica繪製這些幾何體。
綜上所述，這篇文獻的背景強調了Meissner多面體在恆寬體研究中的重要性，探討了它們的性質、構建方法以及在現代幾何學中的應用。