WikiEdge:ArXiv-2304.04035
- 标题：The density of Meissner polyhedra
- 中文标题：Meissner多面体的密度
- 发布日期：2023-04-08 15:07:22+00:00
- 作者：Ryan Hynd
- 分类：math.MG
- 原文链接：http://arxiv.org/abs/2304.04035v2
摘要：我们考虑在 $\mathbb{R}^3$ 中的Meissner多面体。这些是常宽体，其边界由球面和纺锤形环面的部分组成。我们通过取同心球的适当交集来定义这些形状，并显示它们在Hausdorff拓扑中是常宽体空间的稠密集。这个密度断言基本上是由Sallee证明的。然而，我们提供了一个现代的观点，考虑到最近对球多面体的理解和基于这些形状构造常宽体的进展。
问题与动机
作者的研究问题包括：
- Meissner多面体在三维空间中的密度是怎样的？
- 如何证明Meissner多面体在常宽体空间中是密集的？
- Meissner多面体的体积如何计算？
- 如何使用数学软件绘制Meissner多面体的图形？
背景介绍
这篇文献的背景主要集中在以下几个方面：
- Meissner多面体的密度研究：
- Meissner多面体是三维空间中具有恒宽性质的几何体，它们的边界由球面和纺锤形环面的片段组成。
- 这些几何体可以通过适当地相交相同的球体来定义，并且它们在恒宽体的空间中是密集的。
- 先前的研究由Sallee等人进行，他们证明了某些恒宽体类也是密集的，但与Meissner多面体之间的关系尚不清楚。
- 本文旨在通过现代视角，结合球体多面体的理解进展和基于这些形状构建恒宽体的新方法，来探讨Meissner多面体的密集性。
- Reuleaux多面体与球体多面体的联系：
- Reuleaux多面体是一类特殊的球体多面体，包括Reuleaux四面体，它们是Meissner四面体的构建基础。
- 球体多面体是由有限集合的点在三维空间中定义的几何体，这些点的直径之和不超过1。
- 本文将探讨Reuleaux多面体的构建，以及它们如何作为Meissner多面体的近似。
- 恒宽体的几何特性：
- 恒宽体是具有恒定宽度的几何体，即对于任意一对平行的支持平面，它们之间的距离是恒定的。
- 这类几何体在数学和工程学中具有重要的应用，例如在机械设计和机器人路径规划中。
- 本文将讨论Meissner多面体是否具有恒宽性质，并探索其几何特性。
- 数学理论的应用与进展：
- 本文将使用Hausdorff距离来衡量凸体之间的差异，并探讨Meissner多面体在恒宽体空间中的密集性。
- 通过数学建模和计算，本文提供了对Meissner多面体体积的计算方法，以及如何使用Mathematica绘制这些几何体。
综上所述，这篇文献的背景强调了Meissner多面体在恒宽体研究中的重要性，探讨了它们的性质、构建方法以及在现代几何学中的应用。
章节摘要
这篇论文是关于Meissner多面体在三维空间中的密度研究，主要内容包括：
- 引言：介绍了常宽体的概念，即具有恒定宽度的凸体，以及Meissner多面体的定义和性质。常宽体是一类特殊的凸体，其所有平行支撑平面之间的距离相等。文中通过球体的交集来构造Meissner多面体，并探讨了它们在常宽体空间中的密集性。
- 纺锤体：详细讨论了纺锤体的几何特性，包括定义、不等式以及与常宽体的关系。纺锤体是一类由两个点确定的凸体，其边界由球体和纺锤面组成。文中还探讨了纺锤凸性的概念，以及如何通过纺锤凸性来描述常宽体。
- Reuleaux多面体：研究了Reuleaux多面体，这是一类特殊的球体多面体，包括Reuleaux四面体。文中讨论了球体多面体的构建，Vázsonyi问题，以及通过球体多面体构造常宽体的方法。
- Meissner多面体：定义了Meissner多面体，并探讨了它们的性质，包括常宽性质。文中通过在Reuleaux四面体的基础上进行几何变换来构造Meissner四面体，并证明了这些形状具有常宽性质。
- 密度定理：证明了Meissner多面体在常宽体空间中的密集性。文中首先通过近似方法找到一个与给定常宽体接近的球体多面体，然后通过构造Meissner多面体来进一步逼近给定的常宽体。
- 附录：
#* Meissner四面体的体积：计算了两种类型的Meissner四面体的体积，使用了Gauss-Bonnet公式和球体多面体的周长计算。 #* 绘图：描述了如何使用Mathematica软件绘制Reuleaux和Meissner四面体。