WikiEdge:ArXiv-2304.10418

• 標題：Convex bodies of constant width with exponential illumination number
• 中文標題：具有指數照明數的常寬凸體
• 發布日期：2023-04-20 16:08:27+00:00
• 作者：Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Andriy Prymak
• 分類：math.MG, math.CO, Primary 52C17, Secondary 52A20, 52A40, 52C35
• 原文鏈接：http://arxiv.org/abs/2304.10418v3

摘要：我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的常寬凸體，其照明數至少為$(\cos(\pi/14)+o(1))^{-n}$，回答了G. Kalai的一個問題。此外，我們證明了存在一些在$\mathbb{E}^n$中的直徑為$1$的有限集合，它們不能被$(2/\sqrt{3}+o(1))^{n}$個直徑為$1$的球覆蓋，這改進了J. Bourgain和J. Lindenstrauss的一個結果。

問題與動機

作者的研究問題包括：

• 如何證明存在具有至少 (cos(π/14)+o(1))⁻ⁿ 照明數的常寬凸體？
• 如何改進 J. Bourgain 和 J. Lindenstrauss 的結果，證明有限直徑集不能被 (2/√3 − o(1))ⁿ 個直徑為 1 的球所覆蓋？
• 如何構造具有足夠「分離」方向的點集 X，以保證直徑 W(X) ≤ 2 cos α？
• 如何利用概率方法證明存在滿足特定條件的大集合 X，使得 Sn−1 上的每個點最多被 O(n log n) 個球 C(x, φ) 覆蓋？